Toán 12 Tìm GTNN

[thaolunbeo19]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z >= 0 và x+y+z >0. Tìm Min [TEX]\frac{x^3 + y ^3 + 16z^3 }{(x+y+z)^3}[/TEX]

 

[xuanquynh97]

Ta có $\frac{x^{3}}{x^{3}+y^{3}+16z^{3}}+\frac{4}{9}+ \frac{4}{9}$ \geq $\frac{3x\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{81\left(x^{3}+y^{3}+16z^{3} \right)}}$

Tương tự

$\frac{y^{3}}{x^{3}+y^{3}+16z^{3}}+\frac{4}{9}+ \frac{4}{9}$ \geq $\frac{3\sqrt[3]{16}y}{\sqrt[3]{81\left(x^{3}+y^{3}+16z^{3}\right)}}$

$\frac{16z^{3}}{x^{3}+y^{3}+16z^{3}}+\frac{1}{9}+ \frac{1}{9}$ \geq $\frac{3\sqrt[3]{16}z}{\sqrt[3]{81\left(x^{3}+y^{3} +16z^{3}\right)}}$

Cộng vế ta có :
3\geq $\frac{3\sqrt[3]{16}\left(x+y+z \right)}{\sqrt[3]{81\left(x^{3}+y^{3}+16z^{3} \right)}}$

\Leftrightarrow $\frac{x^{3}+y^{3}+16z^{3}}{\left(x+y+z \right)^{3}}$ \geq $\frac{16}{81}$

Dấu '='\Leftrightarrow $\begin{cases}
x=y=\frac{4}{9} & \text{ } \\ z=\frac{1}{9}
& \text{ }
\end{cases}$

 

[eye_smile]

AD Hoder:
$(x^3+y^3+16z^3)(1+1+(\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}})^3).(1+1+(\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}})^3)\ge (x+y+z)^3$

\Rightarrow .....