Tìm GTNN

[nhoxkute_motmi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số thực a,b,c >1 và abc=8. Tìm GTNN của

P= $\dfrac{1}{1+a} + \dfrac{1}{1+b} + \dfrac{1}{1+c}$

 

[congchuaanhsang]

Quy đồng ta có:

$P=\dfrac{ab+b+ca+2(a+b+c)+1}{ab+bc+ca+a+b+c+9}$

\Leftrightarrow $P=1+\dfrac{a+b+c-6}{ab+bc+ca+a+b+c+9}$

\Leftrightarrow $P$ \geq 1

(do $a+b+c$ \geq $3\sqrt[3]{abc}=6$)

Vậy $P_{min}=1$ \Leftrightarrow $a=b=c=2$

 

[huynhbachkhoa23]

Có $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b} \ge \dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}$ nếu $ab \ge 1$

Đặt $x=\sqrt{a}; y=\sqrt{b}$

$\leftrightarrow (1+xy)(x^2+y^2+2) \ge 2(x^2+y^2+x^2y^2+1)$

$\leftrightarrow x^3y+xy^3-2x^2y^2 \ge x^2+y^2-2xy$

$\leftrightarrow xy(x-y)^2\ge (x-y)^2$

Theo Jensen, BDT có dạng $f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n) \ge nf(\sqrt[n]{x_1.x_2.....x_n})$ đúng nếu BDT đúng với $n=2$

Suy ra $BT \ge \dfrac{3}{1+\sqrt[3]{8}}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$