Toán 12 Tìm GTNN

[drthanhnam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c là 3 số dương thoã mãn [tex]a^2+b^2+c^2=3[/tex]
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[tex]\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2} +a^4+b^4+c^4[/tex]

 

[toiyeuhocmai.vn]

Mình nghĩ đáp án là 9/2. Nhưng mình chỉ đoán mò thôi. bạn thông cảm nhé. Mong các bạn khác giúp đỡ.

 

[bboy114crew]

Ta có
$\frac{4a^5}{b^3+c^2} + a(b^3+c^2) \ge 4.a^3$
Tương tự $\frac{4b^5}{c^3+a^2} + b(c^3+a^2) \ge 4b^3$
$\frac{4c^5}{a^3+b^2} + c(a^3+b^2) \ge 4 c^3$

Cộng lại ta có $\sum \frac{4a^5}{b^3+c^2} + ab^3+bc^3+ca^3+ ac^2+ba^2+cb^2 \ge 4(a^3+b^3+c^3)$

Mặt Khác:

Ta dễ dàng cm bằng cô si rằng $\begin{cases} a^4+b^4+c^4 \ge ab^3+bc^3+ca^3 \\ a^3+b^3+c^3 \ge ac^2+ba^2+cb^2 \\ a^4+b^4+c^4 \ge 3 \\ a^3+b^3+c^3 \ge 3 \end{cases}$

Từ đó ta có $4P \ge 3(a^4+b^4+c^4)+3(a^3+b^3+c^3) \ge 18$

Do đó$P \ge \frac{9}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi$a=b=c=1$