Toán 12 Tìm GTNN

[vietphuonga1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

xet cac so thuc duong x+y+z=1
tim gi tri nho nhat cua bieu thuc P=[TEX]\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(z+x)}{zx}+\frac{z^2(x+z)}{xz}[/TEX]

 

[riely_marion19]

từ giả thiết suy ra:
0<x,y,z< 1
[TEX]P \geq \frac{4x^2(y+z)}{(y+z)^2}+\frac{4y^2(x+z)}{(x+z)^2}+\frac{4z^2(x+y)}{(x+y)^2}[/TEX]
[TEX]= \frac{4x^2}{y+z}+\frac{4y^2}{x+z}+\frac{4z^2}{x+y}[/TEX]
[TEX]= \frac{4x^2}{1-x}+\frac{4y^2}{1-y}+\frac{4z^2}{1-z}[/TEX]
ta có:
[TEX]\frac{4x^2}{1-x} \geq 5x-1[/TEX], với mọi 0<x<1
[TEX]\frac{4y^2}{1-y} \geq 5y-1[/TEX], với mọi 0<y<1
[TEX]\frac{4z^2}{1-z} \geq 5z-1 [/TEX], với mọi 0<z<1
[TEX]\Rightarrow \frac{4x^2}{1-x}+\frac{4y^2}{1-y}+\frac{4z^2}{1-z} \geq 5(x+y+z)-3=2[/TEX]
hay [TEX]P \geq 2[/TEX]
dấy "=" xảy ra khi và chỉ khi:
[TEX]x=y=z=\frac{1}{3}[/TEX]
[TEX]P_{min}=2[/TEX]