Tìm GTNN của biểu thức $P = a^2 + b^2 + c^2 + \frac{ab + bc + ac}{a^2 b + b^2 c + c^2 a}$

[flames.of.desire]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn a + b + c = 3
Tìm GTNN của biểu thức [TEX]P = a^2 + b^2 + c^2 + \frac{ab + bc + ac}{a^2 b + b^2 c + c^2 a}[/TEX]
Bài 2: Cho x, y, z là các số thực duơng thoả mãn x+y+z=1
Tìm GTNN của biểu thức [TEX]P= \frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}[/TEX]

 

[1um1nhemtho1]

Bài 2: Cho x, y, z là các số thực duơng thoả mãn x+y+z=1
Tìm GTNN của biểu thức [TEX]P= \frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}[/TEX]

$P= \frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{16x} + \frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}$

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz có:

$\frac{1}{16x} + \frac{4}{16y}+\frac{16}{16z} \ge \frac{(1+2+4)^2}{16(x+y+z)} = \frac{49}{16}$

 

[tranvanhung7997]

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn a + b + c = 3
Tìm GTNN của biểu thức [TEX]P = a^2 + b^2 + c^2 + \frac{ab + bc + ac}{a^2 b + b^2 c + c^2 a}[/TEX]

Bài này là bài BĐT trong đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An năm 2009-2010
Giải: Ta có: [TEX]3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) =a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2[/TEX]
Ta có: [TEX]a^3+ab^2 \geq 2a^2b[/TEX]
Tương tự: [TEX]b^3+bc^2 \geq 2b^2c [/TEX]
và [TEX]c^3+ca^2 \geq 2c^2a[/TEX]
Cộng theo vế 3BĐT trên ta được:
[TEX]a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2\geq2(a^2b+b^2c+c^2a)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\geq3(a^2b+b^2c+c^2a)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]3(a^2+b^2+c^2) \geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2 \geq a^2b+b^2c+c^2a[/TEX]
\Rightarrow [TEX]P \geq a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
Đặt [TEX]a^2+b^2+c^2=t (t\geq\frac{(a+b+c)^2}{3}=3) \Rightarrow ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{9-t}{2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]P=t+\frac{9-t}{2t}=(\frac{t}{2}+\frac{9}{2t})+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\geq 2\sqrt[]{\frac{9}{4}}+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=4[/TEX]
Dấu "=" có<=>a=b=c=1
Vậy[TEX] Min_P=4[/TEX] <=> a=b=c=1

 

[flames.of.desire]

Đặt [TEX](t\geq\frac{(a+b+c)^2}{3}) [/TEX]
mình không hiểu bước này cho lắm bạn giải kĩ giúp mình được không?:-SS

 

[tranvanhung7997]

Đặt [TEX](t\geq\frac{(a+b+c)^2}{3}) [/TEX]
mình không hiểu bước này cho lắm bạn giải kĩ giúp mình được không?:-SS

[TEX]t=a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}[/TEX]
<=> [TEX]3a^2+3b^2+3b^2 \geq a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca[/TEX]
<=> [TEX]2a^2+2b^2+2c^2 \geq 2ab+2bc+2ca[/TEX]
<=> [TEX](a-b)^2+(b-C)^2+(c-a)^2 \geq 0[/TEX] (luôn đúng)
Dấu "=" có<=> a=b=c \Rightarrow đpcm