Toán 8 Tìm GTNN biết điều kiện giữa các biến

[Đậu Thị Khánh Huyền]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b > 0; a + b = 1. Tìm min [tex]N=(1-\frac{1}{a^2})(1-\frac{1}{b^2})[/tex]
Giải 2 cách nhá
@Thiên Thuận@Kuroko - chan giúp e vs ak

 

[Kaito Kidㅤ]

Có:
[tex]N=(1-\frac{1}{a^2})(1-\frac{1}{b^2})\\=(1-\frac{1}{a})(1+\frac{1}{a})(1-\frac{1}{b})(1+\frac{1}{b})\\=(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}).(1-\frac{1}{a})(1-\frac{1}{b})\\=(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}).\frac{a-1}{a}.\frac{b-1}{b}\\=(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}).\frac{a-a-b}{a}.\frac{b-a-b}{b}\\=(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}).\frac{-b}{a}.\frac{-a}{b}\\=(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\\=1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\\=1+\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{ab}\\=1+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}\\=1+\frac{2}{ab}[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy có:
[tex]1=a+b\geq 2\sqrt{ab}\\\rightarrow ab\leq \frac{1}{4}[/tex]
Suy ra
[tex]1+\frac{2}{ab}\geq 1+\frac{2}{\frac{1}{4}}=1+8=9[/tex]
Dấu = xảy ra khi a=b=1/2

 

[Tiểu Linh Hàn]

Mới ra 1 cách thôi
Ta có:

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: ab <= (a+b)^2/4 = 1^2/4 = 1/4
Mà ab > 0 (vì a, b > 0) nên 2/ab >= 2/(1/4) = 8
=> N >= 9
Dấu "=" xảy ra <=> a = b
Mà a + b = 1 nên a = b = 1/2

 

[Kaito Kidㅤ]

Mình chỉ cho 1 cách thu gọn cực ngắn
[tex]N=(1-\frac{1}{a^2})(1-\frac{1}{b^2})=\frac{(a^2-1)(b^2-1)}{a^2b^2}=\frac{a^2b^2-a^2-b^2+1}{a^2b^2}=1+\frac{1-(a^2+b^2)}{a^2b^2}=1+\frac{1-1+2ab}{a^2b^2}=1+\frac{2}{ab}[/tex]
( a+b=1 -> (a+b)^2=1 -> a^2+b^2+2ab=1 -> a^2+b^2=1-2ab)