Tương tự bài này:
Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn a + b + c = 3
Tìm GTNN của biểu thức [TEX]P = a^2 + b^2 + c^2 + \frac{ab + bc + ac}{a^2 b + b^2 c + c^2 a}[/TEX]
Bài này là bài BĐT trong đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An năm 2009-2010
Giải: Ta có: [TEX]3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) =a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2[/TEX]
Ta có: [TEX]a^3+ab^2 \geq 2a^2b[/TEX]
Tương tự: [TEX]b^3+bc^2 \geq 2b^2c [/TEX]
và [TEX]c^3+ca^2 \geq 2c^2a[/TEX]
Cộng theo vế 3BĐT trên ta được:
[TEX]a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2\geq2(a^2b+b^2c+c^2a)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\geq3(a^2b+b^2c+c^2a)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]3(a^2+b^2+c^2) \geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2 \geq a^2b+b^2c+c^2a[/TEX]
\Rightarrow [TEX]P \geq a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
Đặt [TEX]a^2+b^2+c^2=t (t\geq\frac{(a+b+c)^2}{3}=3) \Rightarrow ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{9-t}{2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]P=t+\frac{9-t}{2t}=(\frac{t}{2}+\frac{9}{2t})+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\geq 2\sqrt[]{\frac{9}{4}}+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=4[/TEX]
Dấu "=" có<=>a=b=c=1
Vậy[TEX] Min_P=4[/TEX] <=> a=b=c=1
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
