Toán 9 Tìm GTLN

[Nguyễn Chi Xuyên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn [imath]a+b+c=1[/imath]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
[math]P=\dfrac{a}{a+\sqrt{a+bc}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{b+ca}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{c+ab}}[/math]
Giúp mình câu này với mình cảm ơn ạ

 

[Alice_www]

Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn [imath]a+b+c=1[/imath]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
[math]P=\dfrac{a}{a+\sqrt{a+bc}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{b+ca}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{c+ab}}[/math]
Giúp mình câu này với mình cảm ơn ạ

Nguyễn Chi Xuyên
Ta có: [imath]\sqrt{a+bc}=\sqrt{a(a+b+c)+bc}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\le \dfrac{a+b+a+c}2[/imath]

[imath]\dfrac{a}{a+\sqrt{a+bc}}=\dfrac{a(\sqrt{a+bc}-a)}{a+bc-a^2}\le \dfrac{a\left(\dfrac{a+b+a+c}2-a\right)}{a(a+b+c)+bc-a^2}=\dfrac{a(b+c)}{2(ab+ac+bc)}[/imath]

Suy ra [imath]P\le \dfrac{a(b+c)}{2(ab+ac+bc)}+\dfrac{b(a+c)}{2(ab+ac+bc)}+\dfrac{c(a+b)}{2(ab+ac+bc)}=1[/imath]

Dấu "=" xảy ra khi [imath]a=b=c=\dfrac{1}3[/imath]

Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em xem thêm tại [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức