Toán 10 tìm GTLN

[chongoairung]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O; R), AB =x. Tìm x để diện tích tam giác ABC lớn nhất ( mình không biết cách làm chỉ biết đáp án x=R căn(3)

 

[Ngoc Anhs]

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O; R), AB =x. Tìm x để diện tích tam giác ABC lớn nhất ( mình không biết cách làm chỉ biết đáp án x=R căn(3)

Diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn: $$\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$$
Dựng $OI$ vuông góc với $BC$ tại $H$ và cắt $(O;R)$ tại $K$
Ta có: $$S_{ABC}\leq S_{BIC}$$
$$S_{BIC}=IH.HB \\ \Rightarrow S^2_{BIC}=IH^2.HB^2$$
Lại có: $$BH^2=HK.HI \\ \Rightarrow S^2_{BIC}=HK.IH^3=(2R-IH).IH^3$$
Theo Cauchy: $$IH+IH+IH+(6R-3IH)\geq 4\sqrt[4]{IH^3(6R-3IH)} \\ \Leftrightarrow IH^3(6R-3IH)\leq \frac{81R^4}{16} \\ \Leftrightarrow IH^3(2R-IH)\leq \frac{27R^4}{16} \\ \Leftrightarrow S_{BIC}=\sqrt{IH^3(2R-IH)}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 \\ \Leftrightarrow S_{ABC}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$$
Dấu = xảy ra khi $$\Delta BIC$$ đều và $$A\equiv I\Rightarrow$$ Tam giác $ABC$ đều
Vậy $$x=R\sqrt{3}$$

 

[chongoairung]

Diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn: $$\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$$
Dựng $OI$ vuông góc với $BC$ tại $H$ và cắt $(O;R)$ tại $K$
Ta có: $$S_{ABC}\leq S_{BIC}$$
$$S_{BIC}=IH.HB \\ \Rightarrow S^2_{BIC}=IH^2.HB^2$$
Lại có: $$BH^2=HK.HI \\ \Rightarrow S^2_{BIC}=HK.IH^3=(2R-IH).IH^3$$
Theo Cauchy: $$IH+IH+IH+(6R-3IH)\geq 4\sqrt[4]{IH^3(6R-3IH)} \\ \Leftrightarrow IH^3(6R-3IH)\leq \frac{81R^4}{16} \\ \Leftrightarrow IH^3(2R-IH)\leq \frac{27R^4}{16} \\ \Leftrightarrow S_{BIC}=\sqrt{IH^3(2R-IH)}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 \\ \Leftrightarrow S_{ABC}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$$
Dấu = xảy ra khi $$\Delta BIC$$ đều và $$A\equiv I\Rightarrow$$ Tam giác $ABC$ đều
Vậy $$x=R\sqrt{3}$$

giải thích điểm I đi bn

 

[Ngoc Anhs]

giải thích điểm I đi bn

à sorry bạn
Mình làm vội quá quên chú thích
Gọi $I$ là trung điểm của cung $BC$ có chứa điểm $A$ nhé