Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O; R), AB =x. Tìm x để diện tích tam giác ABC lớn nhất ( mình không biết cách làm chỉ biết đáp án x=R căn(3)
Diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn: [tex]\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2[/tex]
Dựng $OI$ vuông góc với $BC$ tại $H$ và cắt $(O;R)$ tại $K$
Ta có: [tex]S_{ABC}\leq S_{BIC}[/tex]
[tex]S_{BIC}=IH.HB \\ \Rightarrow S^2_{BIC}=IH^2.HB^2[/tex]
Lại có: [tex]BH^2=HK.HI \\ \Rightarrow S^2_{BIC}=HK.IH^3=(2R-IH).IH^3[/tex]
Theo Cauchy: [tex]IH+IH+IH+(6R-3IH)\geq 4\sqrt[4]{IH^3(6R-3IH)} \\ \Leftrightarrow IH^3(6R-3IH)\leq \frac{81R^4}{16} \\ \Leftrightarrow IH^3(2R-IH)\leq \frac{27R^4}{16} \\ \Leftrightarrow S_{BIC}=\sqrt{IH^3(2R-IH)}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 \\ \Leftrightarrow S_{ABC}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]\Delta BIC[/tex] đều và [tex]A\equiv I\Rightarrow[/tex] Tam giác $ABC$ đều
Vậy [tex]x=R\sqrt{3}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
