Toán 12 Tìm GTLN

[doanhnhanvanhoa]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a,b,c là các số thực dương. Tìm GTLN
[tex]P= \frac{1}{\sqrt[2]{a^2+b^2+c^2+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}[/tex]

 

[vuive_yeudoi]

a,b,c là các số thực dương. Tìm GTLN
$$P= \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$$

Dùng Cauchy-Schwarz có
$$ \sqrt{a^2+b^2+c^2+1} \ge \frac{a+b+c+1}{2}=\frac{t+1}{2} $$
với $ \displaystyle t=a+b+c > 0 $.

Suy ra
$$ \frac{1}{\sqrt{1+a^2+b^2+c^2}} \le \frac{2}{1+t} $$
Bây giờ theo AM-GM có
$$ \left( a+1 \right) \left(b+1 \right) \left(c+1 \right) \le \frac{\left( t+3 \right)^3}{27} $$
Suy ra
$$ -\frac{2}{\left( a+1 \right) \left(b+1 \right) \left(c+1 \right)} \le -\frac{54}{\left( t+3 \right)^3}$$
Vậy
$$ P \le \frac{2}{1+t}-\frac{54}{\left( t+3 \right)^3} =\frac{1}{4}-\frac{\left(t^2+8t+3 \right) \left(t-3 \right)^2}{4 \left( t+1 \right) \left(t+3 \right)^3} \le \frac{1}{4}$$
Tại $ \displaystyle a=b=c=1 $ thì
$$ P=\frac{1}{4} $$
Vậy
$$ \max \ P=\frac{1}{4} $$