Tìm GTLN

[handoi986]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số dương x;y;z thoả mãn: x+y+z\leq3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{y^2+y-1}+\sqrt{z^2+z-1}$

Giúp tớ với! Có người hướng dẫn là dùng BĐT Cosi nhưng tớ k hiểu lắm

 

[braga]

Từ giả thiết x,y,z dương và các biểu thức nằm dưới dấu căn bậc hai phải xác định dễ thấy $x,y,z>\dfrac{1}{3}$.
Do đó ta sẽ đánh giá một em đại diện như sau.
Ta có

$\sqrt{x^2+x-1}\leq \dfrac{3}{2}\left(x-1 \right)+1\Leftrightarrow 5\left(x-1 \right)^2\geq 0$​

.
Khi đó

$VT\leq \dfrac{3}{2}\left(x+y+z \right)-\dfrac{3}{2}=3\rightarrow MaxP=3\Leftrightarrow x=y=1.$​

.
Bài toán được giải quyét xong.