Cho ba số không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c = 1
Tìm GTLN của A = ab + 2bc + 3ac
Từ giả thiết thì [TEX]a=1-b-c[/TEX], thay vào [TEX]A[/TEX] ta được
[TEX]A= (1-b-c)b+2bc+3(1-b-c)c= -b^2-3c^2-2bc+b+3c[/TEX]
[TEX]\Rightarrow -4A= 4b^2+12c^2+8bc-4b-12c[/TEX]
[TEX]= (2b)^2+2 \cdot (2b) \cdot (2c-1)+(2c-1)^2+8c^2-8c-1[/TEX]
[TEX]=(2b+2c-1)^2+8 \left( c- \frac 12 \right)^2 -3 \ge -3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow -4A \ge -3 \Rightarrow A \le \frac 34[/TEX].
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [TEX]\left \{ \begin{array}{l} 2b+2c-1=0 \\ c- \frac 12 =0 \\ a+b+c=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} c=a= \frac 12 \\ b=0 \end{array} \right.[/TEX]