Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhát của biểu thức [imath]\dfrac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}[/imath]
Nguyễn Chi XuyênXét [imath]b=0 \Rightarrow P =1[/imath]
Xét [imath]b\ne 0[/imath]. Chia cả tử và mẫu cho [imath]b^2[/imath] ta được:
[imath]P = \dfrac{\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{a}{b} + 1 } {\dfrac{a^2}{b^2} - \dfrac{a}{b} + 1 }[/imath]
Đặt [imath]\dfrac{a}{b}=x \Rightarrow P = \dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}[/imath]
[imath]\Rightarrow P(x^2-x+1) =x^2+x+1[/imath]
[imath]\Rightarrow x^2 (P-1) - (P+1)x + P-1 =0 (1)[/imath]
TH1: [imath]P=1 \Rightarrow x =0 \Rightarrow a=0[/imath]
TH2: [imath]P\ne 1[/imath] , (1) là phương trình bậc 2 ẩn x có nghiệm
[imath]\Leftrightarrow \Delta= (P+1)^2 -4 (P-1)(P-1) = (3-P)(3P-1) \geq 0[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{3} \leq P \leq 3[/imath]
+ [imath]P =\dfrac{1}{3} \Rightarrow x =-1[/imath]
+ [imath]P = 3 \Rightarrow x =1[/imath]
Vậy max [imath]P = 3[/imath] khi [imath]a=b[/imath]; min [imath]P =\dfrac{1}{3}[/imath] khi [imath]a=-b[/imath]
Ngoài ra mời em tham khảo tại: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
