tim GTLN va GTNN

[an_angle_98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y là những số k âm thoả mãn điều kiện $x^2+y^2=1$
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: $P= \sqrt[]{1+2x} + \sqrt[]{1+2y}$

 

[forum_]

Cho x,y là những số k âm thoả mãn điều kiện $x^2+y^2=1$
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: $P= \sqrt[]{1+2x} + \sqrt[]{1+2y}$

Giải:
-Áp dụng BĐT Schwartz cho 4 số $\sqrt[]{1+2x}$, 1, $\sqrt[]{1+2y}$, 1 ta có:

$\sqrt[]{1+2x}$.1 + $\sqrt[]{1+2y}$. 1 \leq $\sqrt[]{2 + 2(x+y)}$. $\sqrt[]{2}$

Mà: $(x+y)^2$ \leq $2(x^2 + y^2)$ (Bạn có thể c/m BĐT phụ này bằng cách tương đương)

=>x+y \leq $\sqrt[]{2. (x^2+y^2)}$ = $\sqrt[]{2}$.

Từ đó suy ra:

$\sqrt[]{1+2x}$.1 + $\sqrt[]{1+2y}$. 1 \leq $\sqrt[]{2 + 2.\sqrt[]{2}}$. $\sqrt[]{2}$

<=> P \leq $\sqrt[]{2 + 2.\sqrt[]{2}}$. $\sqrt[]{2}$

_Vậy $P_{max}$ = $\sqrt[]{2 + 2.\sqrt[]{2}}$. $\sqrt[]{2}$.

+Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi: x=y= $\frac{\sqrt[]{2}}{2}$

*Gợi ý cách tìm min:

Từ $x^2 + y^2$ = 1. Rút x theo y thế vào P, sau đó sử dụng BĐT Cô-si cho 2 số ko âm $\sqrt[]{1+2x}$ và $\sqrt[]{1+2y}$.......

=>Cách này dài dòng, ai có cách ngắn hơn ko?

 

[conga222222]

$\eqalign{
& {P^2} = 2 + 2\left( {x + y} \right) + 2\sqrt {1 + 2\left( {x + y} \right) + 4xy} \cr
& {x^2} + {y^2} = 1 \to {x^2} = 1 - {y^2} \leqslant 1 \to 0 \leqslant x \leqslant 1 \to {x^2} \leqslant x \cr
& tuong\;tu\;{y^2} \leqslant y \cr
& \to x + y \geqslant {x^2} + {y^2} = 1 \cr
& x*y \geqslant 0 \cr
& \to {P^2} \geqslant 2 + 2 + 2\sqrt {1 + 2} = 4 + 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2} \cr
& \to P \geqslant \sqrt 3 + 1 \cr} $

 

[braga]

$\eqalign{
& {P^2} = 2 + 2\left( {x + y} \right) + 2\sqrt {1 + 2\left( {x + y} \right) + 4xy} \cr
& {x^2} + {y^2} = 1 \to {x^2} = 1 - {y^2} \leqslant 1 \to 0 \leqslant x \leqslant 1 \to {x^2} \leqslant x \cr
& tuong\;tu\;{y^2} \leqslant y \cr
& \to x + y \geqslant {x^2} + {y^2} = 1 \cr
& x*y \geqslant 0 \cr
& \to {P^2} \geqslant 2 + 2 + 2\sqrt {1 + 2} = 4 + 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2} \cr
& \to P \geqslant \sqrt 3 + 1 \cr} $

Đã có ở đây: http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=316563