Sử dụng phương pháp hệ số bất định đấy bạn.
Căn bản là đầu tiên ta đoán dấu bằng tại $x = y = 2$. Ta hy vọng là áp dụng bất đẳng thức Cô-si xong thì sẽ ra 1 cục là $(x + y + xy)$ rồi quất bằng $8$ thôi.
Có thể bạn sẽ thử tách $x^2 = \dfrac{1}2 x^2 + \dfrac{1}2 x^2$, hay $x^2 = \dfrac{68}{69} x^2 + \dfrac{1}{69} x^2$ (ghi đại thôi

) rồi lại thấy cuộc đời này thật buồn vì Cô-si xong không ra được $(x+y+xy)$. Như bạn thấy thì con số $\dfrac{1}2$ hay $\dfrac{1}{69}$ thật là tùy ý và hên xui, vậy để cho nó tùy ý hơn nữa thì mình sẽ đặt nó là $a$: $$A = x^2 + y^2 = a(x^2 + 4) + a(y^2 + 4) + (1-a)(x^2 + y^2) - 8a$$
Ở đây $a$ là một số nào đó mình cũng chả biết nó là bao nhiêu luôn. Nhưng mình có niềm tin là sau khi Cô-si xong thì sẽ ra $(x + y + xy)$: $$A \geqslant 4a|x| + 4a|y| + 2(1-a)|xy| - 8a \geqslant 4ax + 4ay + 2(1-a)xy - 8a$$
Ở đây có 1 bước ẩn là mình cho $a < 1$ để $1 - a > 0$, từ đó Cô-si mới không bị ngược dấu (ờ, $a$ tùy ý mà phải không?). Đồng thời mình còn xài tới $|x| \geqslant x$ nữa vì đề không cho $x, y$ dương...
Quay lại nào, phần quan trọng đây: Như bạn thấy thì nó chưa có ra $(x + y + xy)$ (... hay là ra rồi?)
Để ý rằng do $a$ tùy ý nên mình hi vọng là sẽ có một $a$ nào đó để $4a = 4a = 2(1-a)$ (các hệ số trước $x, y, xy$) và ta sẽ đặt nhân tử chung ra ngoài, có ngay $(x + y + xy)$! Vậy thì $a$ nào mới được? Giải ra thôi! $$4a = 2(1-a) \iff a = \dfrac{1}3$$
Số $a$ này ổn không? Ổn chứ, vì nó thỏa điều kiện mình đặt ra ở trên là $a < 1$ luôn! Nếu không tin nữa thì bạn có thể trình bày lại như sau:
Giờ thì bạn biết con số $\dfrac{1}3$ ở đâu ra rồi chứ