cho ABCD là hình vuông cạch 1.M là điểm thay đổi tìm gtln cúa P=[tex]\left | 2\overrightarrow{MA } + \overrightarrow{MB} \right | -\left | 3\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{AC}\right |[/tex]
Gọi $I$ là điểm thoả mãn $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0$
$K$ là điểm thoả mãn $3\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{AC}=\vec0$
Ta có
$P=|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|-|3\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{AC}|$
$=|2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}|-|3\overrightarrow{MK}+3\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{AC}|$
$=|3\overrightarrow{MI}|-|3\overrightarrow{MK}|$
$=|3\overrightarrow{MK}+3\overrightarrow{KI}|-|3\overrightarrow{MK}|$
Ta có bất đẳng thức $|a+b|\le|a|+|b|$
Tương đương $|a+b|-|a|\le|b|$, dấu "$=$" xảy ra khi $a$ và $b$ cùng dấu
Thay vào $P$ ta được
$P=|3\overrightarrow{MK}+3\overrightarrow{KI}|-|3\overrightarrow{MK}|\le |3\overrightarrow{KI}|=3KI$
Vậy GTLN của $P$ là $3KI$
Dấu "$=$" xảy ra khi $\overrightarrow{MK}$ và $\overrightarrow{KI}$ cùng chiều, hay $M, K, I$ theo thứ tự thẳng hàng.
Tìm $KI$
Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $I$ lên $CD, AB$
Chứng minh được $\Delta DAC\backsim\Delta EKC$
Nên $\dfrac{DA}{EK}=\dfrac{DC}{EC}=\dfrac{AC}{KC}=3$
Suy ra $EK=EC=\dfrac{1}{3}$
Dễ chứng minh được $BFEC$ là hình chữ nhật
Nên $KF=KE+EF=KE+CB=\dfrac{4}{3}$, $IF=IB+BF=\dfrac{2}{3}AB+CE=1$
Theo định lý Pytago: $KI=\sqrt{IF^2+KF^2}=\dfrac{5}{3}$
Suy ra $P_{max}=3KI=5$
Kết luận $P_{max}=5$, dấu "$=$" xảy ra khi $M, K, I$ theo thứ tự thẳng hàng.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
