Toán 10 tìm GTLN của hàm số -khó

[le thi khuyen01121978]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm GTLN của hàm số sau:[tex]\sqrt{x+1}+\sqrt{x-3}-4(\sqrt{x^{2}-2x-3}+x)[/tex]
Mong mọi người giúp mình với, hướng giải cũng được.Cảm ơn nhiều!

 

[iceghost]

Nhìn vào đoán hướng làm là đặt $t$ rút gọn thành tam thức bậc 2... (lớp 10 thì chỉ có vậy thôi )

Đặt $t = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}$. Điều kiện: do $x \geqslant 3$ nên $t \geqslant 2$ (khi $x$ rất lớn thì $t$ cũng rất lớn nên không cần tìm điều kiện đầu trên)
$\implies t^2 = 2x - 2 + 2\sqrt{x^2 - 2x - 3}$
$\implies 2t^2 + 4 = 4(x + \sqrt{x^2 - 2x - 3})$

Như vậy hàm số ban đầu $y = t - (2t^2 + 4) = -2t^2 + t - 4$

Tới đây, phương pháp làm cho các dạng tam thức bậc 2 ở lớp 10 là tách hằng đẳng thức rồi đi từ điều kiện:
$y = -2(t - \dfrac14)^2 - \dfrac{31}8$
Có $t \geqslant 2$
$\implies t - \dfrac14 \geqslant \dfrac{7}4$
$\implies (t - \dfrac14)^2 \geqslant \dfrac{49}{16}$
$\implies y \leqslant -10$

Vậy nên GTLN của $y$ là $-10$ khi và chỉ khi $t = 2 \implies x = \ldots$. Em tự giải và tìm $x$ nhé

 

[le thi khuyen01121978]

Nhìn vào đoán hướng làm là đặt $t$ rút gọn thành tam thức bậc 2... (lớp 10 thì chỉ có vậy thôi )

Đặt $t = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}$. Điều kiện: $t \geqslant 0$ là đủ! (khi $x$ rất lớn thì $t$ cũng rất lớn nên không cần tìm điều kiện đầu trên)
$\implies t^2 = 2x - 2 + 2\sqrt{x^2 - 2x - 3}$
$\implies 2t^2 + 4 = 4(x + \sqrt{x^2 - 2x - 3})$

Như vậy hàm số ban đầu $y = t - (2t^2 + 4) = -2t^2 + t - 4$

Tới đây, phương pháp làm cho các dạng tam thức bậc 2 ở lớp 10 là tách hằng đẳng thức rồi đi từ điều kiện:
$y = -2(t - \dfrac14)^2 - \dfrac{31}8$
Có $t \geqslant 0$
$\implies t - \dfrac14 \geqslant -\dfrac14$
$\implies (t - \dfrac14)^2 \geqslant 0$
$\implies y \leqslant -\dfrac{31}8$

Vậy nên GTLN của $y$ là $-\dfrac{31}8$ khi và chỉ khi $t = \dfrac14 \implies x = \ldots$. Em tự giải và tìm $x$ nhé

Anh ơi, em cũng làm cách này, dấu bằng xảy ra khi t=1/4, nhưng khi thay t vào thì pt vô nghiệm anh ạ!

#iceghost: Xin lỗi em Đã sửa!

 

[MinTuz]

dùng điều kiện t⩾2
chứng minh hàm [tex]y=-2*t^{2}+t[/tex] -4 là hàm nghịch biến, có thể dùng khảo sát hàm số hoặc theo định nghĩa.
từ đấy tìm đc GTLN tại t=2