Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R).H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A).Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M.GỌi K là hình chiếu của M trên OB
a, Chứng minh góc HKM=2 góc AMH
b) Các tiếp tuyến của (O:R) tại A và B cắt tuyết tuyến tại M của (O:R) lần lượt tại D,E.OD,OE cắt AB lần lượt tại F,G
CM: OD.GF=OG.DE
c)Tìm GTLN của chu vi tam giác MAB theo R
a) Qua A kẻ tia tiếp tuyến $Ax$ của $(O)$; tia $Ax$ thuộc nửa mặt phẳng bờ $AB$ không chứa điểm $C$
Ta có: [tex]\widehat{xAM}=\frac{1}{2}\widehat{AOM}=\frac{1}{2}sdAM(1)[/tex]
Có $Ax//MH$ vì cung vuông góc với $OA$ [tex]\Rightarrow \widehat{xAM}=\widehat{AMH}(2)[/tex]
Tứ giác $MHOK$ nội tiếp [tex]\Rightarrow \widehat{AOM}=\widehat{MKH}(3)[/tex]
Từ [tex](1);(2);(3)\Rightarrow \widehat{AMH}=\frac{1}{2}\widehat{MKH}\Leftrightarrow \widehat{HKM}=2\widehat{AMH}(dpcm)[/tex]
b) Ta có tứ giác $AOMD$ nội tiếp (5)
Có [tex]\widehat{MAB}=\frac{1}{2}sdMB=\widehat{MOE}\Rightarrow[/tex] tứ giác $AMGO$ nội tiếp (6)
Từ (5) và (6) suy ra 5 điểm $A,O,M,G,D$ cùng thuộc một đường tròn
[tex]\Rightarrow \widehat{AGO}=\widehat{ADO}=\widehat{MDO}[/tex]
[tex]\Delta OGF\sim \Delta ODE(g-g)\\\Rightarrow \frac{OG}{OD}=\frac{OF}{OE}\\\Leftrightarrow OD.OF=OG.OE(dpcm)[/tex]
c) Vì [tex]\Delta ABC[/tex] đều nội tiếp $(O)$ nên tính được [tex]AB=R\sqrt{3}[/tex]
Trên đoạn $MC$ lấy điểm $I$ sao cho [TEX]MI=MA[/TEX]
Có [tex]\widehat{AMI}=\widehat{ABC}=60^{\circ}[/tex]
[tex]\Rightarrow \Delta AMI[/tex] đều
[tex]\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{CAI}=60^{\circ}-\widehat{BAI}[/tex]
[tex]\Delta MAB=\Delta IAC(c-g-c)\\\Rightarrow MB=IC[/tex]
[tex]\Rightarrow MA+MB=MI+IC=MC[/tex]
Chu vi [tex]\Delta MAB[/tex] [tex]=MA+MB+AB=MC+AB\leq 2R+R\sqrt{3}[/tex]
Dấu = xảy ra khi $MC$ là đường kính của $(O)$
[tex]\Leftrightarrow M[/tex] là điểm chính giữa cung $AB$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
