Toán 9 Tìm GTLN của biểu thức

[Nanh Trắng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. tìm GTLN của biểu thức [tex]P=a\sqrt{b^{3}+1}+b\sqrt{c^{3}+1}+c\sqrt{a^{3}+1}[/tex]

 

[7 1 2 5]

[tex]P=a\sqrt{b^{3}+1}+b\sqrt{c^{3}+1}+c\sqrt{a^{3}+1}\Rightarrow 2P=2a\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}+2b\sqrt{(c+1)(c^2-c+1)}+2c\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)}\leq a.(b+1+b^2-b+1)+b(c+1+c^2-c+1)+c(a+1+a^2-a+1)=a(b^2+2)+b(c^2+2)+c(a^2+2)=ab^2+bc^2+ca^2+6[/tex]
Giả sử [tex]b\leq c\leq a\Rightarrow b(c-b)(a-c)\geq 0\Leftrightarrow abc+b^2c\geq ab^2+bc^2\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq abc+b^2c+ca^2\leq 2abc+b^2c+ca^2=c(b^2+2ab+a^2)=c(b+a)^2=4c.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b}{2}\leq 4.(\frac{c+\frac{a+b}{2}+\frac{a+b}{2}}{3})^3=4(\frac{a+b+c}{3})^3=4[/tex]
[tex]\Rightarrow 2P\leq 4+6=10\Rightarrow P\leq 5[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi b=0,c=1,a=2