tìm giới hạn

[super_ze1234]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm giới hạn của dãy số \((u_{n})\) với số hạng tổng quát sau:
a) \(u_{n}=\frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+b+b^{2}+...+b^{n}}\) với \(|a|<1, |b|<1\).
b) \(u_{n}=(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})...(1-\frac{1}{n^{2}})\).
c) \(u_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\).

 

[super_ze1234]

a) \(u_{n}=\frac{(1-a^{n+1}): (1-a)}{(1-b^{n+1}): (1-b)}=\frac{(1-a^{n+1})(1-b)}{(1-b^{n+1})(1-a)}\)
\(\lim u_{n}=\frac{\lim (1-a^{n+1})\lim (1-b)}{\lim (1-b^{n+1})\lim (1-a)}=\frac{1-b}{1-a}\)
(vì \(|a|<1, |b|<1, \lim a^{n+1}=\lim b^{n+1}=0\)).
b) \(u_{n}=\frac{(2^{2}-1)(3^{2}-1)...(n^{2}-1)}{2^{2}.3^{2}...n^{2}}=\frac{1.3.2.4.3.5...(n-1)(n+1)}{(1.2.3...n)^{2}}\)
\(=\frac{1.2.3...(n-1).3.4.5...(n+1)}{(1.2.3...n)^{2}}=\frac{n+1}{2.n}\)
\(\lim u_{n}=\lim \frac{n+1}{2n}=\lim \frac{1+\frac{1}{n}}{2}=\frac{1}{2}\).
c) Với mọi \(k\in N, 1\leq k\leq n\) thì \(0<n^{2}+1\leq n^{2}+k\leq n^{2}+n\)
\(\Rightarrow \sqrt{n^{2}+1}\leq \sqrt{n^{2}+k}\leq \sqrt{n^{2}+n} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\leq \frac{1}{\sqrt{n^{2}+k}}\leq \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}\)
Suy ra \(\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}}\leq u_{n}\leq \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\)
\(\lim \frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}}=\lim \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1, \lim \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}=\lim \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}=1\).
Theo định lí kẹp về giới hạn dãy số ta có \(\lim u_{n}=1\).

 

[super_ze1234]

Tìm giới hạn của các dãy số \((u_{n})\) với số hạng tổng quát sau:
a) \(u_{n}=\frac{3.4^{n}+5^{n+1}}{2.3^{n}+5^{n}}\)
b) \(u_{n}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}\)
c) \(u_{n}=\frac{2.1^{2}+3.2^{2}+...+(n+1)n^{2}}{n^{4}}\)
d) \(u_{n}=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\).

 

[super_ze1234]

a) \(u_{n}=\frac{3(\frac{4}{5})^{n}+5}{2(\frac{3}{5})^{n}+1}; \lim u_{n}=5\).
b) \(u_{n}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}; \lim u_{n}=1\).
c) \(u_{n}=\frac{1^{2}+1^{3}+2^{2}+2^{3}+...+n^{2}+n^{3}}{n^{4}}=\frac{(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})+(1^{3}+2^{3}+...+n^{3})}{n^{4}} \lim u_{n}=\frac{1}{4}\).
d) \(\frac{1}{k\sqrt{k+1}+(k+1)\sqrt{k}}=\frac{(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{(k+1)^{2}k-k^{2}(k+1)}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\).
Đáp số: \(1\).