Toán 11 Tìm giới hạn lim

[nguyenthidiemquynh2011@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = \dfrac{(n+2)u_n + 2}{n};\, \forall n \in \mathbb N^* \end{cases}$
Tính giới hạn $\lim \dfrac{u_n}{n^2}$

Giúp mình bài này với

 

[Ngocloc2005]

un = u1 + ( n + 2 )( n - 1 )
=> lim un/n^2 = lim (1 + (n + 2)(n - 1))/n^2
= lim ( n^2+n-1)/n^2 = lim ( 1 + 1/n - 1/n^2 )/ 1 = 1

 

[Alice_www]

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = \dfrac{(n+2)u_n + 2}{n};\, \forall n \in \mathbb N^* \end{cases}$
Tính giới hạn $\lim \dfrac{u_n}{n^2}$

Giúp mình bài này với

$u_{n+1} = \dfrac{(n+2)u_n + 2}{n}$
$\Rightarrow \dfrac{u_{n+1}}{n+2}=\dfrac{u_n}{n}+\dfrac{2}{n(n+2)}$
$\Rightarrow \dfrac{u_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{u_n}{n(n+1)}+\dfrac{2}{n(n+1)(n+2)}$
$\Rightarrow \dfrac{u_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{u_n}{n(n+1)}+\dfrac{2(n+1)}{(n^2+n)(n^2+3n+2)}$
$\Rightarrow \dfrac{u_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{u_n}{n(n+1)}+\dfrac{1}{n^2+n}-\dfrac{1}{n^2+3n+2}$
$\Rightarrow \dfrac{u_{n+1}}{(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{u_n}{n(n+1)}+\dfrac{1}{n(n+1)}$
Đặt $v_n=\dfrac{u_n+1}{n(n+1)};\: v_1=1$
$v_{n+1}=v_n=v_1=$
$\Rightarrow \dfrac{u_n+1}{n(n+1)}=1\Rightarrow u_n=n(n+1)-1$
Ta có: $\lim \dfrac{u_n}{n^2}=\lim \dfrac{n^2+n-1}{n^2}=\lim \dfrac{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{1}=1$
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé <3
Ngoài ra em tham khảo thêm kiến thức tại topic này nhé: https://diendan.hocmai.vn/threads/on-thi-hk-ham-so-phuong-trinh-luong-giac.844961/

 

[nguyenthidiemquynh2011@gmail.com]

$u_{n+1} = \dfrac{(n+2)u_n + 2}{n}$
$\Rightarrow \dfrac{u_{n+1}}{n+2}=\dfrac{u_n}{n}+\dfrac{2}{n(n+2)}$
$\Rightarrow \dfrac{u_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{u_n}{n(n+1)}+\dfrac{2}{n(n+1)(n+2)}$
$\Rightarrow \dfrac{u_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{u_n}{n(n+1)}+\dfrac{2(n+1)}{(n^2+n)(n^2+3n+2)}$
$\Rightarrow \dfrac{u_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{u_n}{n(n+1)}+\dfrac{1}{n^2+n}-\dfrac{1}{n^2+3n+2}$
$\Rightarrow \dfrac{u_{n+1}}{(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{u_n}{n(n+1)}+\dfrac{1}{n(n+1)}$
Đặt $v_n=\dfrac{u_n+1}{n(n+1)};\: v_1=1$
$v_{n+1}=v_n=v_1=$
$\Rightarrow \dfrac{u_n+1}{n(n+1)}=1\Rightarrow u_n=n(n+1)-1$
Ta có: $\lim \dfrac{u_n}{n^2}=\lim \dfrac{n^2+n-1}{n^2}=\lim \dfrac{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{1}=1$
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé <3

Chị ơi, tại sao Vn+1 =Vn=V1 vậy, em khôngg hiểu lắm

 

[nguyenthidiemquynh2011@gmail.com]

un = u1 + ( n + 2 )( n - 1 )
=> lim un/n^2 = lim (1 + (n + 2)(n - 1))/n^2
= lim ( n^2+n-1)/n^2 = lim ( 1 + 1/n - 1/n^2 )/ 1 = 1

cái dòng đầu sao ra được vậy, em không hiểu lắm

 

[7 1 2 5]

Chị ơi, tại sao Vn+1 =Vn=V1 vậy, em khôngg hiểu lắm

Từ biểu thức [TEX]\dfrac{u_{n+1}}{(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{u_n}{n(n+1)}+\dfrac{1}{n(n+1)}[/TEX] thì ta suy ra [TEX]\dfrac{u_{n+1}+1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{u_n+1}{n(n+1)}[/TEX], từ đó [TEX]v_{n+1}=v_n[/TEX] nhé.
Khi đó dãy [TEX](v_n)[/TEX] là dãy hằng, suy ra [TEX]v_n=v_1[/TEX].