Toán 11 Tìm giới hạn của dãy số:

[Windeee]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ($u_{n}$), $u_1 = \dfrac{1}{2}$; $u_{n}=\dfrac{\sqrt{u_{n-1}^{2}+4u_{n-1}}+u_{n-1}}{2}; \ \forall n\geq 2$.

Đặt $u_{n}=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{u_{i}^{2}}$. Chứng minh $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Mình cảm ơn ạ

 

[Alice_www]

Cho ($u_{n}$), $u_1 = \dfrac{1}{2}$; $u_{n}=\dfrac{\sqrt{u_{n-1}^{2}+4u_{n-1}}+u_{n-1}}{2}; \ \forall n\geq 2$.

Đặt $u_{n}=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{u_{i}^{2}}$. Chứng minh $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Mình cảm ơn ạ

Windeee
cái dãy sau là $S_n=\displaystyle \sum \limits_{i=1}^n \dfrac{1}{u_i^2}$ đúng không nhỉ

và đề là cm $(S_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó?

 

[Windeee]

cái dãy sau là $S_n=\displaystyle \sum \limits_{i=1}^n \dfrac{1}{u_i^2}$ đúng không nhỉ

và đề là cm $(S_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó?

Alice_wwwĐúng rồi, mình ghi nhầm ạ.
Bạn giúp mình với.

 

[Alice_www]

dễ dàng cm $\lim u_n=+\infty$ (Dãy tăng và không bị chặn)

$2u_n-u_{n-1}=\sqrt{u^2_{n-1}+4u_{n-1}}$

$\Rightarrow (2u_n-u_{n-1})^2=u^2_{n-1}+4u_{n-1}$

$\Rightarrow u^2_n-u_nu_{n-1}=u_{n-1}$

$\Rightarrow u_n(u_n-u_{n-1})=u_{n-1}$

$\Rightarrow \dfrac{u_n-u_{n-1}}{u_{n-1}}=\dfrac{1}{u_n}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{u^2_n}=\dfrac{u_n-u_{n-1}}{u_{n-1}u_n}=\dfrac{1}{u_{n-1}}-\dfrac{1}{u_n}$

$S_n=\displaystyle \sum \limits_{i=1}^n \dfrac{1}{u_i^2}=\dfrac{1}{u^2_1}+\dfrac{1}{u_1}-\dfrac{1}{u_n}$

$\lim S_n=6$