Toán 11 Tìm giới hạn của dãy số (un)(u_{n})

[Ngoc Anhs]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy số $$(u_{n})$$ xác định như sau: $$\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\frac{1}{2-u_{n}} \end{matrix}\right.$$
Tìm giới hạn của dãy số $$(u_{n})$$
@Tiến Phùng

 

[tieutukeke]

Quy nạp chứng minh $$u_{n}=\frac{n}{n+1}$$ dễ dàng:
$$u_{k+1}=\frac{1}{2-u_{k}}=\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}=\frac{k+1}{k+2}$$ (đúng)
GIới hạn bằng 1

 

[Ngoc Anhs]

Quy nạp chứng minh $$u_{n}=\frac{n}{n+1}$$ dễ dàng:
$$u_{k+1}=\frac{1}{2-u_{k}}=\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}=\frac{k+1}{k+2}$$ (đúng)
GIới hạn bằng 1

Nhưng em chưa học quy nạp ạ!
Anh còn cách khác không ạ?

 

[tieutukeke]

Cô nhóc này làm khó nhau quá, lớp 11 ko xài quy nạp nữa
Vậy thì con đường chứng minh dãy tăng và bị chặn trên cũng ko xài được, vì phải dính quy nạp.
Thế thì chỉ còn cách tìm công thức tổng quát của dãy số truy hồi luôn ra thôi
$$u_{n+1}-1=\frac{1}{2-u_{n}}-1=\frac{u_{n}-1}{2-u_{n}}\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}-1}=\frac{2-u_{n}}{u_{n}-1}=\frac{1}{u_{n}-1}-1$$
Đặt $$\frac{1}{u_{n}-1}=v_{n}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} v_{1}=-2 & \\ v_{n+1}=v_{n}-1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow v_{n}$$ là cấp số cộng với công sai $$d=-1$$
$$\Rightarrow v_{n}=-2+(n-1).(-1)=-n-1\Rightarrow \frac{1}{u_{n}-1}=-n-1\Rightarrow 1-u_{n}=\frac{1}{n+1}\Rightarrow u_{n}=\frac{n}{n+1}$$