[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa
Lý thuyết và Phương pháp giải
- Để chứng minh limun = 0 ta chứng minh với mọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho |un|<a ∀n > na.
- Để chứng minh limun = 1 ta chứng minh lim(un-1) = 0.
- Để chứng minh limun = +∞ ta chứng minh với mọi số M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un > M ∀n > nM.
- Để chứng minh limun = -∞ ta chứng minh lim(-un) = +∞
- Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Bài 2: Chứng minh rằng dãy số (un ) : un = (-1)n không có giới hạn.
Hướng dẫn:
Ta có: u2n = 1 ⇒ limu2n = 1; u(2n+1) = -1 ⇒ limu(2n+1) = -1
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn.
Bài 3: Chứng minh các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có:
Ta chọn
Do đó:
2. Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta có:
Ta chọn
Do đó:
Bài 4: Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
3. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Bài 5: Chứng minh các giới hạn sau
Hướng dẫn:
1. Với mọi a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
2. Ta có
3. Với mọi số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Bài 6: Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau :
Hướng dẫn:
1. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Vậy A = 2
2. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa mãn
3. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Vậy C = 1
Bài 7: Chứng minh rằng dãy số (un): un = (-1)n không có giới hạn.
Hướng dẫn:
Ta có: u2n → +∞; u(2n+1) = -(2n+1) → -∞
Do đó dãy số đã cho không có giới hạn.
Bài 8: Chứng minh các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
1. Gọi m là số tự nhiên thỏa: m+1 > |a|. Khi đó với mọi n > m+1
Ta có:
Mà
Từ đó suy ra:
2. Nếu a = 1 thì ta có đpcm
+ Giả sử a > 1. Khi đó:
+
Tóm lại ta luôn có:
với a > 0.
Chuyên đề Toán 11: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Lý thuyết và Phương pháp giải
- Để chứng minh limun = 0 ta chứng minh với mọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho |un|<a ∀n > na.
- Để chứng minh limun = 1 ta chứng minh lim(un-1) = 0.
- Để chứng minh limun = +∞ ta chứng minh với mọi số M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un > M ∀n > nM.
- Để chứng minh limun = -∞ ta chứng minh lim(-un) = +∞
- Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Bài 2: Chứng minh rằng dãy số (un ) : un = (-1)n không có giới hạn.
Hướng dẫn:
Ta có: u2n = 1 ⇒ limu2n = 1; u(2n+1) = -1 ⇒ limu(2n+1) = -1
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn.
Bài 3: Chứng minh các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có:
Ta chọn
Do đó:
2. Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta có:
Ta chọn
Do đó:
Bài 4: Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
3. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Bài 5: Chứng minh các giới hạn sau
Hướng dẫn:
1. Với mọi a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
2. Ta có
3. Với mọi số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Bài 6: Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau :
Hướng dẫn:
1. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Vậy A = 2
2. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa mãn
3. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Vậy C = 1
Bài 7: Chứng minh rằng dãy số (un): un = (-1)n không có giới hạn.
Hướng dẫn:
Ta có: u2n → +∞; u(2n+1) = -(2n+1) → -∞
Do đó dãy số đã cho không có giới hạn.
Bài 8: Chứng minh các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
1. Gọi m là số tự nhiên thỏa: m+1 > |a|. Khi đó với mọi n > m+1
Ta có:
Mà
2. Nếu a = 1 thì ta có đpcm
+ Giả sử a > 1. Khi đó:
+
Tóm lại ta luôn có:
Chuyên đề Toán 11: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác: