Toán tìm giá trị

[Nguyệt Hoàng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x + y = 1, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A= ( 1 - 1/x^2)(1 - 1/y^2)

 

[Nguyễn Lê Thành Vinh]

A= (1- 1/x^2)(1- 1/y^2)
= (x² - 1/x²)(y² - 1/y²)
= (x-1)(x+1)(y-1)(y+1) / x²ỵ²
= (x - x - y)(x + 1)(y - x - y)(y+1) / x²y²
= xy(x+1)(y+1)/x²y²
= (x+1)(y+1)/xy
= (xy + x + y + 1)/xy
= (xy + 2)/xy
= 2+xy/xy
= (2/xy) + 1
Để đạt Min thì (2/xy) đạt Min .
Thì x = y và x + y = 1 => x = y = 1/2
= 2/0,5.0,5+1
= 9

 

[Ann Lee]

A= (1- 1/x^2)(1- 1/y^2)
= (x² - 1/x²)(y² - 1/y²)
= (x-1)(x+1)(y-1)(y+1) / x²ỵ²
= (x - x - y)(x + 1)(y - x - y)(y+1) / x²y²
= xy(x+1)(y+1)/x²y²
= (x+1)(y+1)/xy
= (xy + x + y + 1)/xy
= (xy + 2)/xy
= 2+xy/xy
= (2/xy) + 1
Để đạt Min thì (2/xy) đạt Min .
Thì x = y và x + y = 1 => x = y = 1/2
= 2/0,5.0,5+1
= 9

Bạn nên xem lại những chỗ màu đỏ.
Có [tex]1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}[/tex] (BĐT Cauchy)
[tex]A=(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})=\frac{2}{xy}+1\geq \frac{2}{\frac{1}{4}}+1=9[/tex]
Dấu "=" xảy ra tại [tex]x=y=\frac{1}{2}[/tex]