Toán 8 Tìm giá trị nhỏ nhất

[Edgarnguyen248]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác không cân và (a + b - c)(b + c - a) = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = [math]\frac{4}{(a-c)^2}\ + \frac{1}{(b + c -a)^2}\ + \frac{1}{(a+b-c)^2}\\[/math]

 

[2712-0-3]

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác không cân và (a + b - c)(b + c - a) = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = [math]\frac{4}{(a-c)^2}\ + \frac{1}{(b + c -a)^2}\ + \frac{1}{(a+b-c)^2}\\[/math]

doanhnhannguyenthinh@gmail.comĐặt [imath]a+b-c = x; b+c-a =y \Rightarrow x-y = 2(a-c) (x,y \geq 0 )[/imath]
Ta đổi giả thiết thành [imath]xy=1[/imath], [imath]P =\dfrac{16}{(x-y)^2} + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2}[/imath]
[imath]P =\dfrac{16}{x^2+y^2 - 2} + (x^2+y^2-2) +2[/imath]
Áp dụng A-G ta có: [imath]\dfrac{16}{x^2+y^2 - 2} + (x^2+y^2-2) \geq 8[/imath]
[imath]\Rightarrow P\geq 8+2 =10[/imath]
Dấu = xảy ra khi [imath](x;y) \in \{ (1+\sqrt{2} ;1-\sqrt{2} ) ; (1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}) \}[/imath]

Mời bạn tham khảo topic [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

 

[7 1 2 5]

Đặt [imath]b+c-a=x,a+b-c=y[/imath] thì [imath]x,y>0[/imath] và [imath]xy=1[/imath]
Ta có [imath](a-c)^2=(\dfrac{x-y}{2})^2[/imath]
[imath]\Rightarrow P=\dfrac{16}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{16}{x^2+y^2-2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}[/imath]
[imath]=\dfrac{16}{x^2+y^2-2}+x^2+y^2[/imath]
[imath]=\dfrac{16}{x^2+y^2-2}+x^2+y^2-2+2[/imath]
[imath]\geq 2\sqrt{\dfrac{16}{x^2+y^2-2} \cdot (x^2+y^2-2)}+2=10[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]x^2+y^2-2=4[/imath] và [imath]xy=1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x-y)^2=4[/imath] và [imath]xy=1[/imath].
Dấu "=" xảy ra chẳng hạn khi [imath]x-y=2, xy=1 \Leftrightarrow x=\sqrt{2}+1,y=\sqrt{2}-1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow b=\sqrt{2},a-c=1[/imath].

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức