Toán 9 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức với các số không âm có tổng bằng 1

Thảo luận trong 'Tổng hợp Đại số' bắt đầu bởi Junery N, 20 Tháng sáu 2021.

Lượt xem: 71

  1. Junery N

    Junery N Hỗ trợ viên Cu li diễn đàn HV CLB Địa lí

    Bài viết:
    4,170
    Điểm thành tích:
    916
    Nơi ở:
    Nam Định
    Trường học/Cơ quan:
    In the sky
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Với các số không âm [tex]a;b;c[/tex] thỏa mãn [tex]a+b+c=1[/tex].
    Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: [tex]P=\sqrt{\frac{a}{a+1}}+\sqrt{\frac{b}{b+1}}+\sqrt{\frac{c}{c+1}}[/tex]
    :meomun19
     
    hoàng việt nam, Ánh 01kaede-kun thích bài này.
  2. Mộc Nhãn

    Mộc Nhãn Mod Toán Cu li diễn đàn

    Bài viết:
    5,092
    Điểm thành tích:
    746
    Nơi ở:
    Hà Tĩnh
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Chuyên Hà Tĩnh

    [tex]\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{a}{a+1}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{4})\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{a+1}}\leq \frac{a}{a+1}+\frac{1}{4}[/tex]
    Tương tự, cộng vế theo vế ta có: [tex]P\leq (\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1})+\frac{3}{4}[/tex]
    Lại có: [tex]\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{9}{a+b+c+3}=\frac{9}{4}\Rightarrow \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\leq 3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\Rightarrow P\leq \frac{3}{2}[/tex]
    Dấu "=" xảy ra tại [tex](a,b,c)=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})[/tex]
    Ta thấy: [tex]a \leq 1\Rightarrow \frac{a}{a+1}\leq \frac{1}{2}\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{a+1}}\geq \frac{\sqrt{2}a}{a+1}[/tex]
    Tương tự cộng vế theo vế ta có: [tex]P \geq \sqrt{2}(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1})[/tex]
    Mà [tex]3-(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1})=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\frac{ab+bc+ca+2(a+b+c)+3}{abc+ab+bc+ca+a+b+c+1}=\frac{ab+bc+ca+5}{abc+ab+bc+ca+2}\leq \frac{ab+bc+ca+5}{ab+bc+ca+2}=1+\frac{3}{ab+bc+ca+2} \leq 1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\Rightarrow \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow P\geq \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
    Dấu "=" xảy ra tại [tex](a,b,c)=(1,0,0)[/tex] và các hoán vị.
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY