Toán 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của [tex]P=x^2+y^2[/tex] khi cho [tex]x+y+xy=\frac{7}{9}[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]x+y+xy=\frac{7}{9}[/tex]. Tìm giá trị nhỏ nhất của [tex]P=x^2+y^2[/tex].

 

[Nguyễn Huy Vũ Dũng]

Ơ bạn ơi hình như điều kiện sai hay sao chứ chả thấy z đâu cả

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Cho [tex]x+y+xy=\frac{7}{9}[/tex]. Tìm giá trị nhỏ nhất của [tex]P=x^2+y^2+z^2[/tex].

[tex]P\geq x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(x+y)^2+2(x+y)-\frac{14}{9}\\\\ +, xy\leq \frac{(x+y)^2}{4} => \frac{7}{9}\leq x+y+\frac{(x+y)^2}{4}\\\\ => (x+y)^2+4(x+y)\geq \frac{28}{9}\\\\ => (x+y+2)^2\geq \frac{64}{9}\\\\ => +, x+y+2\geq \frac{8}{3} => x+y\geq \frac{2}{3}\\\\ +, x+y+2\leq \frac{-8}{3} => x+y\leq \frac{-14}{3}\\\\ *, x+y\geq \frac{2}{3} \\\\ => P\geq (x+y)^2+4(x+y)-\frac{14}{9}\geq \frac{4}{9}+\frac{24}{9}-\frac{14}{9}=\frac{14}{9} (1)\\\\ *, x+y\leq \frac{-14}{3}<0\\\\ => P\geq (x+y+2)^2-\frac{32}{9}\\\\ +, x+y+2\leq \frac{-8}{3}<0 => (x+y+2)^2\geq \frac{64}{9}\\\\ => P\geq \frac{32}{9} (2)\\\\ (1);(2)=> P\geq \frac{14}{9}[/tex]
dấu "=" <=> x=y=1/3 và z=0

 

[Nguyễn Huy Vũ Dũng]

Có xy[tex]\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{7}{9}=x+y+xy\leq (x+y)+\frac{(x+y)^{2}}{4} \leftrightarrow (x+y)+\frac{(x+y)^{2}}{4} -\frac{7}{9}\geq 0 \leftrightarrow (x+y)\geq \frac{2}{3}[/tex] hoặc [tex](x+y)\leq \frac{-14}{3}[/tex]
TH1: [tex](x+y)\geq \frac{2}{3}[/tex]
[tex]x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\geq \frac{2}{9}[/tex]
dấu = xr khi x=y=1/3
TH2: [tex](x+y)\leq \frac{-14}{3}[/tex]
[tex]\leftrightarrow (x+y)^{2}\geq \frac{196}{9}\rightarrow P\geq \frac{98}{9}[/tex]
từ 2 TH trên suy ra min P=2/9.dấu = xr khi x=y=1/3

 

[võ sỹ quốc uy]

[tex]P\geq x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(x+y)^2+2(x+y)-\frac{14}{9}\\\\ +, xy\leq \frac{(x+y)^2}{4} => \frac{7}{9}\leq x+y+\frac{(x+y)^2}{4}\\\\ => (x+y)^2+4(x+y)\geq \frac{28}{9}\\\\ => (x+y+2)^2\geq \frac{64}{9}\\\\ => +, x+y+2\geq \frac{8}{3} => x+y\geq \frac{2}{3}\\\\ +, x+y+2\leq \frac{-8}{3} => x+y\leq \frac{-14}{3}\\\\ *, x+y\geq \frac{2}{3} \\\\ => P\geq (x+y)^2+4(x+y)-\frac{14}{9}\geq \frac{4}{9}+\frac{24}{9}-\frac{14}{9}=\frac{14}{9} (1)\\\\ *, x+y\leq \frac{-14}{3}<0\\\\ => P\geq (x+y+2)^2-\frac{32}{9}\\\\ +, x+y+2\leq \frac{-8}{3}<0 => (x+y+2)^2\geq \frac{64}{9}\\\\ => P\geq \frac{32}{9} (2)\\\\ (1);(2)=> P\geq \frac{14}{9}[/tex]
dấu "=" <=> x=y=1/3 và z=0

chưa biết x,y>0 thì lam sao sử dụng được AM - GM ?

 

[7 1 2 5]

chưa biết x,y>0 thì lam sao sử dụng được AM - GM ?

BĐT [tex]xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}[/tex] đúng với mọi số thực nhé bạn.