Nháp 1 xíu nhé. Ta dự đoán điểm rơi của bất đẳng thức tại [imath]x+y=4[/imath]. Từ đó nếu điểm rơi của [imath]x[/imath] là [imath]m<4[/imath] thì điểm rơi của [imath]y[/imath] là [imath]4-m[/imath]
Trước hết thì chúng ta hạ bậc của [imath]x^2,y^2[/imath] bằng BĐT Cô-si:
[imath]x^2+m^2 \geq 2mx;y^2+(4-m)^2 \geq 2(4-m)y[/imath]
[imath]\Rightarrow x^2+4y^2 \geq 2mx-m^2+8(4-m)y-4(4-m)^2=2mx+(32-8m)y-[m^2+4(4-m)^2][/imath]
Tiếp tục sử dụng BĐT Cô-si để khử đi [imath]\dfrac{45}{x}[/imath] và [imath]\dfrac{7}{y}[/imath] (cũng với điểm rơi như trên)
[imath]\dfrac{45}{x}+\dfrac{45}{m^2}x \geq 2\cdot \dfrac{45}{m}=\dfrac{90}{m}[/imath]
[imath]\dfrac{7}{y}+\dfrac{7}{(4-m)^2}y \geq 2\cdot \dfrac{7}{4-m}=\dfrac{14}{4-m}[/imath]
Sau khi sử dụng BĐT Cô-si thì ta còn thừa [imath](2m-\dfrac{45}{m^2})x+[32-8m-\dfrac{7}{(4-m)^2}]y[/imath] cùng hệ số tự do. Khi đó ta sẽ cố gắng tìm [imath]m[/imath] để hệ số của [imath]x[/imath] và [imath]y[/imath] bằng nhau (để sử dụng giả thiết [imath]x+y \geq 4[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 2m-\dfrac{45}{m^2}=32-8m-\dfrac{7}{(4-m)^2}>0[/imath]
Đến đây thì em có thể bấm máy tính giải phương trình để được [imath]m=3[/imath]. Từ đó ta trình bày lời giải như sau:
"Áp dụng BĐT Cô-si cho [imath]2[/imath] số thực dương ta có:
[imath]x^2+9 \geq 6x;y^2+1 \geq 2y[/imath]
[imath]\Rightarrow P \geq 6x-9+4(2y-1)+\dfrac{45}{x}+\dfrac{7}{y}=(x+y)+(5x+\dfrac{45}{x})+(7y+\dfrac{7}{y})-13[/imath]
[imath]=(x+y)+5(x+\dfrac{9}{x})+7(y+\dfrac{1}{y})-13[/imath]
Áp dụng BĐT Cô-si cho mỗi cặp số trong ngoặc ta được:
[imath]x+\dfrac{9}{x} \geq 2\sqrt{x\cdot \dfrac{9}{x}}=6;y+\dfrac{1}{y} \geq 2\sqrt{y \cdot \dfrac{1}{y}}=2[/imath]
Mặt khác ta có [imath]x+y \geq 4[/imath]
[imath]\Rightarrow P \geq 4+5\cdot 6+7 \cdot 2-13=35[/imath]
Dấu "=" xảy ra tại [imath]x=3,y=1[/imath].
Vậy giá trị nhỏ nhất của [imath]P[/imath] là [imath]35[/imath]."
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
