Toán Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

[nabitho09@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn x^2+y^2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+1/x+y+1/y

 

[Vua sư tử (Leo)]

Giá trị nhỏ nhất là P=2 khi x=1 và y=0 hoặc y=1 và x=0

 

[maloimi456]

Giá trị nhỏ nhất là P=2 khi x=1 và y=0 hoặc y=1 và x=0

Vì 1/x và 1/y là phân số nên x=0 hoặc y=0 không thỏa mãn bạn nhé

 

[Moon4560242]

Giá trị nhỏ nhất là P=2 khi x=1 và y=0 hoặc y=1 và x=0

làm sao $x=0$ or $y=0$ đc vậy bạn?

 

[Huỳnh Đức Nhật]

+ từ x^2+y^2+xy=1 => (x - 1/2*y)^2 + 3/4*y^2 = 1
đặt x - 1/2*y = sina và √3/2*y = cosa <> y = 2cosa / √3 và x = sina + cosa /√3
thay vào b ta có
b = (sina + cosa/√3)^2 - ( sina + cosa/√3). 2cosa/√3 + 8/3*(cosa)^2
= (sina)^2 + sin2a/√3 + (cosa)^2/3 - sin2a/√3 - 2/3*(cosa)^2 + 8/3*(cosa)^2
= (sina)^2 + 7(cosa)^2 / 3 = 1+ 4(cosa)^2 / 3 = 1 + 2(1 + cos2a) / 3 = 5/3 + 2cos2a/ 3
=> 1=< b <=7/3
+ min = 1 khi cos2a = -1 hay cosa = 0 <> y = 0 và x = +- 1
+ max = 7 / 3 khi cos2a = 1 hay sina = 0 <> x = 1 + 1/√3 và y = 2 / √3 hoạc x = 1 - 1 / √3
và y = -2 / √3

 

[Moon4560242]

+ từ x^2+y^2+xy=1 => (x - 1/2*y)^2 + 3/4*y^2 = 1
đặt x - 1/2*y = sina và √3/2*y = cosa <> y = 2cosa / √3 và x = sina + cosa /√3
thay vào b ta có
b = (sina + cosa/√3)^2 - ( sina + cosa/√3). 2cosa/√3 + 8/3*(cosa)^2
= (sina)^2 + sin2a/√3 + (cosa)^2/3 - sin2a/√3 - 2/3*(cosa)^2 + 8/3*(cosa)^2
= (sina)^2 + 7(cosa)^2 / 3 = 1+ 4(cosa)^2 / 3 = 1 + 2(1 + cos2a) / 3 = 5/3 + 2cos2a/ 3
=> 1=< b <=7/3
+ min = 1 khi cos2a = -1 hay cosa = 0 <> y = 0 và x = +- 1
+ max = 7 / 3 khi cos2a = 1 hay sina = 0 <> x = 1 + 1/√3 và y = 2 / √3 hoạc x = 1 - 1 / √3
và y = -2 / √3

+Thứ nhất $x^2+y^2+xy=1$ ở đâu vậy bạn?
+Thứ hai $b$ ở đâu?
+Thứ ba $y=0$ và $x=-1$ là điều ko thể ($x,y$ là các số thực dương mà)
+Thứ tư ở chỗ tìm Max của bạn $x^2+y^2\neq 1$ (mà đề bài có bắt tìm Max đâu)
+....
+Và cuối cùng mk thắc mắc bạn học lớp 6 sao làm đc cái này vậy?

 

[Ma Long]

Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn x^2+y^2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+1/x+y+1/y

Giải:
Ta có:
$x^2+y^2\geq 2xy$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\geq 4xy$
$\Leftrightarrow (x+y)^2\geq 4xy$
$\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{xy}\geq \dfrac{4}{x+y}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq \dfrac{4}{x+y}$
Suy ra:
[tex]P\geq x+y+\dfrac{4}{x+y}= (x+y)+\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{2}{x+y}[/tex]
Áp dụng BĐT cosi
[tex](x+y)+\dfrac{2}{x+y}\geq 2\sqrt{2}[/tex]
[tex](x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)\Rightarrow x+y\leq\sqrt{2(x^2+y^2)}=\sqrt{2}\Rightarrow \dfrac{2}{x+y}\geq \sqrt{2}[/tex]
Vậy:
$P\geq 2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
$MinP=3\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn x^2+y^2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+1/x+y+1/y

bạn viết lại đề bài đc ko là $P=\dfrac{x+1}{x}+\dfrac{y+1}{y}$ hay $P=x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}$

 

[Moon Ckảnk]

Giúp mình bài này với !

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn xy+yz+xz=1​

Chứng minh : A=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \frac{3}{2} . Dấu "=" xảy ra khi nào ?

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Giúp mình bài này với !

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn xy+yz+xz=1​

Chứng minh : A=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \frac{3}{2} . Dấu "=" xảy ra khi nào ?

Đề thế này à bạn? $A=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\dfrac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}+\dfrac{z}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \dfrac{3}{2}$

 

[Ma Long]

Ta có:
$1+x^2=xy+yz+xz+x^2=(x+y)(x+z)$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số:
$\Rightarrow \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \dfrac{1}{2}.(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z})$
Làm tương tự ta được:
[tex]A\leq \dfrac{1}{2}.(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{y+x}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y})=\dfrac{3}{2}[/tex]
Dấu = khi $x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

 

[Moon Ckảnk]

Đề thế này à bạn? $A=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\dfrac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}+\dfrac{z}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \dfrac{3}{2}$

đúng rồi bạn