Toán Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Huỳnh Đức Nhật

Banned
Banned
27 Tháng hai 2017
759
567
206
Quảng Nam
THCS Phan Tây Hồ
+ từ x^2+y^2+xy=1 => (x - 1/2*y)^2 + 3/4*y^2 = 1
đặt x - 1/2*y = sina và √3/2*y = cosa <> y = 2cosa / √3 và x = sina + cosa /√3
thay vào b ta có
b = (sina + cosa/√3)^2 - ( sina + cosa/√3). 2cosa/√3 + 8/3*(cosa)^2
= (sina)^2 + sin2a/√3 + (cosa)^2/3 - sin2a/√3 - 2/3*(cosa)^2 + 8/3*(cosa)^2
= (sina)^2 + 7(cosa)^2 / 3 = 1+ 4(cosa)^2 / 3 = 1 + 2(1 + cos2a) / 3 = 5/3 + 2cos2a/ 3
=> 1=< b <=7/3
+ min = 1 khi cos2a = -1 hay cosa = 0 <> y = 0 và x = +- 1
+ max = 7 / 3 khi cos2a = 1 hay sina = 0 <> x = 1 + 1/√3 và y = 2 / √3 hoạc x = 1 - 1 / √3
và y = -2 / √3
 

Moon4560242

Banned
Banned
10 Tháng năm 2017
7
10
16
+ từ x^2+y^2+xy=1 => (x - 1/2*y)^2 + 3/4*y^2 = 1
đặt x - 1/2*y = sina và √3/2*y = cosa <> y = 2cosa / √3 và x = sina + cosa /√3
thay vào b ta có
b = (sina + cosa/√3)^2 - ( sina + cosa/√3). 2cosa/√3 + 8/3*(cosa)^2
= (sina)^2 + sin2a/√3 + (cosa)^2/3 - sin2a/√3 - 2/3*(cosa)^2 + 8/3*(cosa)^2
= (sina)^2 + 7(cosa)^2 / 3 = 1+ 4(cosa)^2 / 3 = 1 + 2(1 + cos2a) / 3 = 5/3 + 2cos2a/ 3
=> 1=< b <=7/3
+ min = 1 khi cos2a = -1 hay cosa = 0 <> y = 0 và x = +- 1
+ max = 7 / 3 khi cos2a = 1 hay sina = 0 <> x = 1 + 1/√3 và y = 2 / √3 hoạc x = 1 - 1 / √3
và y = -2 / √3
+Thứ nhất $x^2+y^2+xy=1$ ở đâu vậy bạn?
+Thứ hai $b$ ở đâu?
+Thứ ba $y=0$ và $x=-1$ là điều ko thể ($x,y$ là các số thực dương mà)
+Thứ tư ở chỗ tìm Max của bạn $x^2+y^2\neq 1$ (mà đề bài có bắt tìm Max đâu)
+....
+Và cuối cùng mk thắc mắc bạn học lớp 6 sao làm đc cái này vậy?
 

Ma Long

Học sinh chăm học
Thành viên
6 Tháng ba 2017
252
305
136
Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn x^2+y^2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+1/x+y+1/y
Giải:
Ta có:
$x^2+y^2\geq 2xy$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\geq 4xy$
$\Leftrightarrow (x+y)^2\geq 4xy$
$\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{xy}\geq \dfrac{4}{x+y}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq \dfrac{4}{x+y}$
Suy ra:
[tex]P\geq x+y+\dfrac{4}{x+y}= (x+y)+\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{2}{x+y}[/tex]
Áp dụng BĐT cosi
[tex](x+y)+\dfrac{2}{x+y}\geq 2\sqrt{2}[/tex]
[tex](x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)\Rightarrow x+y\leq\sqrt{2(x^2+y^2)}=\sqrt{2}\Rightarrow \dfrac{2}{x+y}\geq \sqrt{2}[/tex]
Vậy:
$P\geq 2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
$MinP=3\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
 

Moon Ckảnk

Học sinh
Thành viên
3 Tháng sáu 2016
13
1
31
19
Thanh Hóa
Giúp mình bài này với ! r25r25
Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn xy+yz+xz=1​
Chứng minh : A=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \frac{3}{2} . Dấu "=" xảy ra khi nào ?
 

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT tích cực 2017
28 Tháng hai 2017
4,472
5,490
779
Hà Nội
THPT Đồng Quan
Giúp mình bài này với ! r25r25
Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn xy+yz+xz=1​
Chứng minh : A=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \frac{3}{2} . Dấu "=" xảy ra khi nào ?
Đề thế này à bạn? $A=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\dfrac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}+\dfrac{z}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \dfrac{3}{2}$
 

Ma Long

Học sinh chăm học
Thành viên
6 Tháng ba 2017
252
305
136
Ta có:
$1+x^2=xy+yz+xz+x^2=(x+y)(x+z)$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số:
$\Rightarrow \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \dfrac{1}{2}.(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z})$
Làm tương tự ta được:
[tex]A\leq \dfrac{1}{2}.(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{y+x}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y})=\dfrac{3}{2}[/tex]
Dấu = khi $x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
 
Top Bottom