Toán 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

E

eye_smile

1,Ta có:

$A=(\dfrac{1}{ab}-1)(\dfrac{1}{bc}-1)(\dfrac{1}{ac}-1)$

$=\dfrac{(1-ab)(1-bc)(1-ac)}{(abc)^2}$

$=\dfrac{1-ab-bc-ac+a^2bc+ab^2c+abc^2-a^2b^2c^2}{(abc)^2}$

$=-1+\dfrac{1-(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)}{(abc)^2}$

$=-1+\dfrac{1-(ab+bc+ac)}{(abc)^2}+\dfrac{1}{abc}$

Có: $3(ab+bc+ca) \le (a+b+c)^2=1$

\Leftrightarrow $ab+bc+ca \le \dfrac{1}{3}$

Và $1=a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}$

\Leftrightarrow $abc \le \dfrac{1}{27}$

\Rightarrow $A \ge -1+\dfrac{1-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{27^2}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{27}}=....$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c=1/3$
 
A

antminh

eye_smile said:
1,Ta có:

$A=(\dfrac{1}{ab}-1)(\dfrac{1}{bc}-1)(\dfrac{1}{ac}-1)$

$=\dfrac{(1-ab)(1-bc)(1-ac)}{(abc)^2}$

$=\dfrac{1-ab-bc-ac+a^2bc+ab^2c+abc^2-a^2b^2c^2}{(abc)^2}$

$=-1+\dfrac{1-(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)}{(abc)^2}$

$=-1+\dfrac{1-(ab+bc+ac)}{(abc)^2}+\dfrac{1}{abc}$

Có: $3(ab+bc+ca) \le (a+b+c)^2=1$

\Leftrightarrow $ab+bc+ca \le \dfrac{1}{3}$

Và $1=a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}$

\Leftrightarrow $abc \le \dfrac{1}{27}$

\Rightarrow $A \ge -1+\dfrac{1-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{27^2}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{27}}=....$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c=1/3$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bạn giải thích cho mình chố 3(ab +bc+ca) <= (a+b+c)^2 đi
 
E

eye_smile

Có: $(ab+bc+ca)^2 \leq $(a^2+b^2+c^2)^2$ theo Cauchy-Schwarz.


\Rightarrow $ab+bc+ca \le |ab+bc+ca| \le a^2+b^2+c^2$

\Leftrightarrow $ab+bc+ca+2(ab+bc+ca) \le a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2$

\Leftrightarrow $3(ab+bc+ca) \le (a+b+c)^2$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom