Toán 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với ba số thực [tex]x;y;z[/tex] thỏa mãn [tex]x+y+z=1[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ba số thực [tex]x;y;z[/tex] thỏa mãn [tex]x+y+z=1[/tex].
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [tex]A=\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+zx+2x^2}[/tex]

 

[kido2006]

Cho ba số thực [tex]x;y;z[/tex] thỏa mãn [tex]x+y+z=1[/tex].
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [tex]A=\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+zx+2x^2}[/tex]

[tex]\sqrt{2x^2+xy+2y^2}=\sqrt{\frac{3}{4}(x-y)^2+\frac{5}{4}(x+y)^2}\geq \sqrt{\frac{5}{4}(x+y)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}(x+y)[/tex]
Chứng minh tương tự rồi cộng vế [tex]\Rightarrow A\geq \frac{\sqrt{5}}{2}.2(x+y+z)=\sqrt{5}[/tex]
Dấu = khi x=y=z=1/3

 

[Bella Nguyễnnn]

Cho ba số thực [tex]x;y;z[/tex] thỏa mãn [tex]x+y+z=1[/tex].
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [tex]A=\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+zx+2x^2}[/tex]

[tex]2x^2+xy+2y^2=\frac{5}{4}(x+y)^2+\frac{3}{4}(x-y)^2\geq \frac{5}{4}(x+y)^2[/tex]

[tex]\rightarrow \sqrt{x^2+xy+2y^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(x+y)[/tex]
CMTT rồi cộng vế ta được :
[tex]A\geq \frac{\sqrt{5}}{2}.2(x+y+z)=\sqrt{5}[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}[/tex]

 

[Duy Quang Vũ 2007]

Cách khác:
Ta có: [tex]\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{4x^{2}+2xy+4y^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{3(x^2+y^2)+(x+y)^2}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{3\frac{(x+y)^{2}}{2}+(x+y)^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}(x+y)=\frac{\sqrt{5}}{2}(x+y)[/tex]
Tương tự: [tex]\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(y+z)\\ \sqrt{2z^{2}+zx+2x^{2}}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(z+x)[/tex]
Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên ta được:
[tex]A\geq \frac{\sqrt{5}}{2}.2(x+y+z)=\sqrt{5}[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi [tex]x=y=z=\frac{1}{3}.[/tex]