Toán 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với ba số thực [tex]x;y;z[/tex] thỏa mãn [tex]x+y+z=1[/tex]

Thảo luận trong 'Tổng hợp Đại số' bắt đầu bởi Junery N, 21 Tháng sáu 2021.

Lượt xem: 120

  1. Junery N

    Junery N TV BQT tập sự Cu li diễn đàn HV CLB Địa lí

    Bài viết:
    4,157
    Điểm thành tích:
    916
    Nơi ở:
    Nam Định
    Trường học/Cơ quan:
    In the sky
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Cho ba số thực [tex]x;y;z[/tex] thỏa mãn [tex]x+y+z=1[/tex].
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [tex]A=\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+zx+2x^2}[/tex]
    :meomun19
     
  2. kido2006

    kido2006 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    811
    Điểm thành tích:
    146
    Nơi ở:
    Bắc Ninh
    Trường học/Cơ quan:
    THCS Đại Phúc

    [tex]\sqrt{2x^2+xy+2y^2}=\sqrt{\frac{3}{4}(x-y)^2+\frac{5}{4}(x+y)^2}\geq \sqrt{\frac{5}{4}(x+y)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}(x+y)[/tex]
    Chứng minh tương tự rồi cộng vế [tex]\Rightarrow A\geq \frac{\sqrt{5}}{2}.2(x+y+z)=\sqrt{5}[/tex]
    Dấu = khi x=y=z=1/3
     
  3. bellanguyen362@gmail.com

    bellanguyen362@gmail.com Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    7
    Điểm thành tích:
    16
    Nơi ở:
    Nam Định
    Trường học/Cơ quan:
    THPT chuyên Lê Hồng Phong

    [tex]2x^2+xy+2y^2=\frac{5}{4}(x+y)^2+\frac{3}{4}(x-y)^2\geq \frac{5}{4}(x+y)^2[/tex]

    [tex]\rightarrow \sqrt{x^2+xy+2y^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(x+y)[/tex]
    CMTT rồi cộng vế ta được :
    [tex]A\geq \frac{\sqrt{5}}{2}.2(x+y+z)=\sqrt{5}[/tex]
    Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}[/tex]
     
  4. Duy Quang Vũ 2007

    Duy Quang Vũ 2007 Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    142
    Điểm thành tích:
    36
    Nơi ở:
    Quảng Ninh
    Trường học/Cơ quan:
    THCS Chu Văn An

    Cách khác:
    Ta có: [tex]\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{4x^{2}+2xy+4y^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{3(x^2+y^2)+(x+y)^2}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{3\frac{(x+y)^{2}}{2}+(x+y)^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}(x+y)=\frac{\sqrt{5}}{2}(x+y)[/tex]
    Tương tự: [tex]\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(y+z)\\ \sqrt{2z^{2}+zx+2x^{2}}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(z+x)[/tex]
    Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên ta được:
    [tex]A\geq \frac{\sqrt{5}}{2}.2(x+y+z)=\sqrt{5}[/tex]
    Đẳng thức xảy ra khi [tex]x=y=z=\frac{1}{3}.[/tex]
     
    Junery Nbellanguyen362@gmail.com thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY