Toán 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc cao

Đỗ Hằng

Cựu Mod Sinh học
Thành viên
18 Tháng chín 2017
2,110
2,765
456
21
Thanh Hóa
THPT Triệu Sơn 3

Ngoc Anhs

Cựu TMod Toán
Thành viên
4 Tháng năm 2019
5,482
3,916
646
22
Ha Noi
Hà Nam
trường thpt b bình lục
Cho x thay đổi, thỏa mãn:
[tex]x^{2} + (3-x)^{2} \geq 5[/tex]

Tìm GTNN của: [tex]P=x^{4}+(3-x)^{4} + 6x^{2}(3-x)^{2}[/tex]
Đặt y=3-x

[tex]\Rightarrow P=x^4+y^4+6x^2y^2[/tex]

Ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} x+y=3\\ x^2+y^2\geq 5 \end{matrix}\right.[/tex]

Từ các hệ thức trên ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} x^2+2xy+y^2=9\\ x^2+y^2\geq 5 \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\Rightarrow (x^2+y^2)+4(x^2+y^2+2xy)\geq 5+4.9=41[/tex]

[tex]\Rightarrow 5(x^2+y^2)+4.(2xy)\geq 41[/tex]

Mặt khác,
[tex]16(x^2+y^2)^2+25.(2xy)^2\geq 40(x^2+y^2)(2xy)(1)[/tex]

Dấu = xảy ra khi [tex]4(x^2+y^2)=5.(2xy)[/tex]

Cộng 2 vế của (1) với [tex]25(x^2+y^2)^2+16.(2xy)^2[/tex] ta được

[tex]41\left [ (x^2+y^2)^2+(2xy)^2 \right ]\geq \left [ 5(x^2+y^2)+4.(2xy) \right ]^2\geq 41^2[/tex]

[tex]\Rightarrow (x^2+y^2)^2+(2xy)^2\geq 41\Rightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\geq 41[/tex]

Dấu = xảy ra khi [tex]\left\{\begin{matrix} x+y=3\\ x^2+y^2=5\\ 4(x^2+y^2)=5.(2xy) \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\Rightarrow (x;y)\in \left \{ (1;2);(2;1) \right \}[/tex]

Vậy min P = 41 khi x=1 hoặc x=2
 
Top Bottom