Toán 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc cao

[Đỗ Hằng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x thay đổi, thỏa mãn:
[tex]x^{2} + (3-x)^{2} \geq 5[/tex]

Tìm GTNN của: [tex]P=x^{4}+(3-x)^{4} + 6x^{2}(3-x)^{2}[/tex]

 

[Ngoc Anhs]

Cho x thay đổi, thỏa mãn:
[tex]x^{2} + (3-x)^{2} \geq 5[/tex]

Tìm GTNN của: [tex]P=x^{4}+(3-x)^{4} + 6x^{2}(3-x)^{2}[/tex]

Đặt y=3-x

[tex]\Rightarrow P=x^4+y^4+6x^2y^2[/tex]

Ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} x+y=3\\ x^2+y^2\geq 5 \end{matrix}\right.[/tex]

Từ các hệ thức trên ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} x^2+2xy+y^2=9\\ x^2+y^2\geq 5 \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\Rightarrow (x^2+y^2)+4(x^2+y^2+2xy)\geq 5+4.9=41[/tex]

[tex]\Rightarrow 5(x^2+y^2)+4.(2xy)\geq 41[/tex]

Mặt khác,
[tex]16(x^2+y^2)^2+25.(2xy)^2\geq 40(x^2+y^2)(2xy)(1)[/tex]

Dấu = xảy ra khi [tex]4(x^2+y^2)=5.(2xy)[/tex]

Cộng 2 vế của (1) với [tex]25(x^2+y^2)^2+16.(2xy)^2[/tex] ta được

[tex]41\left [ (x^2+y^2)^2+(2xy)^2 \right ]\geq \left [ 5(x^2+y^2)+4.(2xy) \right ]^2\geq 41^2[/tex]

[tex]\Rightarrow (x^2+y^2)^2+(2xy)^2\geq 41\Rightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\geq 41[/tex]

Dấu = xảy ra khi [tex]\left\{\begin{matrix} x+y=3\\ x^2+y^2=5\\ 4(x^2+y^2)=5.(2xy) \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\Rightarrow (x;y)\in \left \{ (1;2);(2;1) \right \}[/tex]

Vậy min P = 41 khi x=1 hoặc x=2