Toán Tìm giá trị lớn nhất

[Khánh Linh.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]x\geq 1 , y\geq 1[/tex] .Chứng minh: [tex]x\sqrt{y-1} + y\sqrt{x-1}\leq xy[/tex]
Áp dụng tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A= [tex]\frac{\sqrt{y-1}}{y} + \frac{\sqrt{x-1}}{x}[/tex]
Mình thanks trước!!!

 

[Trịnh Hoàng Quân]

Tách xy =(x-1)y+y=(y-1)x+x
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số dương trên
⇒(x-1)y+y≥ 2 √(x-1)y^2=2y√x-1⇒xy ≥2y√x-1
⇒(y-1)x+x ≥2√(y-1)x^2=2x√y-1⇒xy ≥2x√y-1
Ta có : 2xy≥ 2x√y-1+2y√x-1
Chia 2 vế cho 2 ta sẽ có được ĐPCM

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Áp dụng kết quả trên ta có:

[tex]A=\frac{\sqrt{y-1}}{y}+\frac{\sqrt{x-1}}{x} \\=\frac{x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}}{xy} \\\leq \frac{xy}{xy}=1[/tex]
Dấu '=' khi $x=y=2$