a) CMDN có [tex]\widehat{MCN}=\widehat{MDN}=90^o \Rightarrow[/tex]CMDN nội tiếp
b) Gọi A' và B' là hình chiếu của A và B trên CD.
Hình thang AA'B'B có đường trung bình OH nên [tex]AA'+BB'=2OH[/tex]
Mà OH là đường cao tam giác đều cạnh là R nên OH không đổi. Từ đó AA' + BB' không đổi
c) Ta dễ thấy OH vuông với CD.
Lại có: MCND nội tiếp đường tròn đường kính MN nên IC = ID [tex]=\frac{MN}{2}[/tex]
Từ đó thì IH vuông với CD hay I,H,O thẳng hàng.
Xét tam giác MCN và BCA:
[tex]\widehat{MCN}=\widehat{BCA}=90^o,\widehat{CMN}=\widehat{CBA}(cùng phụ \widehat{CAB}) \Rightarrow \Delta MCN \sim \Delta BCA(g.g) \Rightarrow \frac{MN}{AB}=\frac{MC}{CB}[/tex]
Lại có: [tex]\widehat{CMD}=\frac{1}{2}(sđAB-sđCD)=60^o \Rightarrow \frac{MN}{2R}=\frac{MC}{CB}=cotg\widehat{CMB}=\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow MN=\frac{2\sqrt{3}}{3}R \Rightarrow ID=\frac{\sqrt{3}R}{3}[/tex]
d) Ta thấy: [tex]\Delta MCD \sim \Delta MBA \Rightarrow \frac{S_{MCD}}{S_{MBA}}=(\frac{MC}{MB})^2=(cos\widehat{CMD})^2=\frac{1}{4}[/tex]
Vẽ đường tròn đi qua M,A,B. Vì [tex]\widehat{AMB}=60^o[/tex]không đổi nên M di chuyển trên cung AB của đường tròn đó.
Khi đó khoảng cách từ M tới AB lớn nhất khi M giữa cung AB hay cung AC = cung CD.
Mà lúc đó diện tích MAB lớn nhất nên diện tích MCD cũng lớn nhất.
Vậy diện tích MCD lớn nhất khi cung AC bằng 60 độ.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
