Toán 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

NikolaTesla

Học sinh chăm học
Thành viên
29 Tháng một 2019
249
90
61
Nghệ An
THCS

Nguyễn Quế Sơn

Học sinh chăm học
Thành viên
17 Tháng năm 2019
413
473
76
17
Nghệ An
Trường THCS BL
Lời giải:
Đặt [imath]t=x^2+y^2-2x+1 \Rightarrow 2x=x^2+y^2-t+1[/imath]
Phương trình tương đương:
[imath](x^2+y^2) \sqrt{t}-x^2-y^2-t+1 \leqslant 0[/imath] [imath](*)[/imath]
[imath]g(t)=(x^2+y^2)(\sqrt{t}-1)+t-1 \Rightarrow g'(t)=(x^2+y^2). \frac{1}{2 \sqrt{t}} > 0 \forall t>0[/imath]
[imath]g(1)=0 \Rightarrow (*) \Leftrightarrow g(t) \leqslant g(1) \Leftrightarrow t\leqslant 1[/imath]
[imath]\Rightarrow x^2+y^2-2x \leqslant 0[/imath] [imath](1)[/imath]
Đến đây có 2 hướng để làm:
[imath](*)[/imath] Nếu làm theo kiểu trắc nghiệm:
[imath](1) \Leftrightarrow y \leqslant \sqrt{-x^2+2x}[/imath]
[imath]P=\frac{8x+4}{2x-y+1} \leqslant \frac{8x+4}{2x-\sqrt{-x^2+2x}+1}[/imath] [imath]\forall x\in [0;2][/imath]
Đến đây dùng chức năng Table của máy tính cầm tay, Start=0, End=2, Step: 2:29, rồi tìm giá trị lớn nhất gần 7.2348
[imath](*)[/imath] Nếu làm theo hướng tự luận:
[imath](1) \Leftrightarrow (x-1)^2+y^2 \leqslant 1[/imath] [imath]\rightarrow[/imath] Hình tròn tâm I(0,1), R=1
Đường thẳng [imath](d): (2P-8)x-Py+P-4=0[/imath]
Để tồn tại x, y thỏa mãn hai phương trình trên
[imath]\Rightarrow d(I,d) \leqslant R \Leftrightarrow \frac{|(2P-8)+P-4|}{\sqrt{(2P-8)^2+P^2}} \leqslant 1 \Leftrightarrow 5-\sqrt{5} \leqslant P \leqslant 5+\sqrt{5}[/imath]
Vậy giá trị lớn nhất [imath]P_{max}=5+\sqrt{5}[/imath]
 
Top Bottom