Toán 12 Tìm điều kiện của $m$ để hàm $f(|x^4-8x^2|+m)$ có $7$ điểm cực trị

[wall_e.12]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hàm số [imath]y=f(x)[/imath] có đạo hàm [imath]f'(x)=x^3-3x-2 \forall x \in \mathbb{R}[/imath]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số [imath]m \in [-30,30][/imath] để hàm số [imath]y=f(|x^4-8x^2|+m)[/imath] có đúng [imath]7[/imath] điểm cực trị.
giúp mình với ạ mình cảm ơn

 

[7 1 2 5]

[imath]y'=f'(|x^4-8x^2|+m) \cdot \dfrac{4x(x^2-4)(x^2-8)}{|x^2-8|}[/imath](1)
[imath]y'[/imath] không xác định tại [imath]x=\pm 2\sqrt{2}[/imath]
Để [imath]y=f(|x^4-8x^2|+m)[/imath] có 7 điểm cực trị thì [imath]f'(|x^4-8x^2|+m) \cdot \dfrac{4x(x^2-4)(x^2-8)}{|x^2-8|}=0[/imath] phải có 5 nghiệm phân biệt.
Ta thấy [imath]f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-1,x=2[/imath].
Từ đó (1) [imath]\Leftrightarrow m=-1-|x^4-8x^2| \vee m=2-|x^4-8x^2| \vee x=0 \vee x=\pm 2[/imath](2)
Ta xét hàm [imath]g(x)=|x^4-8x^2|[/imath]
[imath]g'(x)=\dfrac{4x(x^2-4)(x^2-8)}{|x^2-8|}=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=\pm 2[/imath]
Bảng biến thiên [imath]g(x)[/imath]:
[math]\begin{array}{c|ccccccccccccc} x & -\infty & & -2\sqrt{2} & & -2 & & 0 & & 2 & & 2\sqrt{2} & & +\infty \\ \hline y' & & - & || & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - & || & + \\ \hline y & +\infty & & & & 16 & & & & 16 & & & & +\infty \\ & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & 0 & & & & 0 & & & & 0 & & \end{array}[/math]Từ đây ta có nhận xét:
+ Phương trình [imath]g(x)=k >16[/imath] có [imath]2[/imath] nghiệm phân biệt.
+ Phương trình [imath]g(x)=16[/imath] có [imath]4[/imath] nghiệm phân biệt.
+ Phương trình [imath]g(x)=k \in (0,16)[/imath] có [imath]6[/imath] nghiệm phân biệt.
+ Phương trình [imath]g(x)=0[/imath] có [imath]3[/imath] nghiệm phân biệt.
+ Phương trình [imath]g(x)<0[/imath] vô nghiệm.
Ta xét các trường hợp:
+ [imath]m=-1[/imath].
Khi đó [imath](2) \Leftrightarrow x=0 \vee x=\pm 2\sqrt{2} \vee x=\pm 2 \vee |x^4-8x^2|=3[/imath]
Từ đó (2) có [imath]11[/imath] nghiệm. (loại)
+ [imath]m=2[/imath]
Khi đó [imath](2) \Leftrightarrow x=0 \vee x=\pm 2\sqrt{2} \vee x=\pm 2 \vee |x^4-8x^2|=-3[/imath]
Từ đó (2) có [imath]5[/imath] nghiệm. (thỏa mãn)
+ [imath]m=-17[/imath]
Khi đó [imath](2) \Leftrightarrow |x^4-8x^2|=16 \vee |x^4-8x^2|=19 \vee x=0[/imath]
Từ đó (2) có [imath]4+2+1=7[/imath] nghiệm.(loại)
+ [imath]m=-14[/imath]
Khi đó [imath](2) \Leftrightarrow |x^4-8x^2|=13 \vee |x^4-8x^2|=16 \vee x=0[/imath]
Từ đó (2) có [imath]6+4+1=11[/imath] nghiệm.
+ Các trường hợp còn lại.
Khi đó để (2) có 5 nghiệm phân biệt thì [imath]|x^4-8x^2|=-1-m \vee |x^4-8x^2|=2-m[/imath] phải có 2 nghiệm.
Dựa vào nhận xét trên thì trong 2 số [imath]-1-m,2-m[/imath] phải có [imath]1[/imath] số lớn hơn [imath]16[/imath] và số còn lại âm.
Mà ta có [imath](-1-m)-(2-m)=-3[/imath] nên không tồn tại [imath]m[/imath] sao cho [imath]1[/imath] trong [imath]2[/imath] số [imath]-1-m,2-m[/imath] có [imath]1[/imath] số lớn hơn [imath]16[/imath] và số còn lại âm
Vậy chỉ có [imath]m=2[/imath] thỏa mãn.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022

 

[wall_e.12]

[imath]y'=0 \Leftrightarrow f'(|x^4-8x^2|+m) \cdot \dfrac{4x(x^2-4)(x^2-8)}{|x^2-8|}=0[/imath](1)
Ta thấy [imath]f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-1,x=2[/imath].
Từ đó (1) [imath]\Leftrightarrow m=-1-|x^4-8x^2| \vee m=2-|x^4-8x^2| \vee x=0 \vee x=\pm 2[/imath](2)
Ta xét hàm [imath]g(x)=|x^4-8x^2|[/imath]
[imath]g'(x)=\dfrac{4x(x^2-4)(x^2-8)}{|x^2-8|}=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=\pm 2[/imath]
Bảng biến thiên [imath]g(x)[/imath]:
[math]\begin{array}{c|ccccccccccccc} x & -\infty & & -2\sqrt{2} & & -2 & & 0 & & 2 & & 2\sqrt{2} & & +\infty \\ \hline y' & & - & || & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - & || & + \\ \hline y & +\infty & & & & 16 & & & & 16 & & & & +\infty \\ & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & 0 & & & & 0 & & & & 0 & & \end{array}[/math]Từ đây ta có nhận xét:
+ Phương trình [imath]g(x)=k >16[/imath] có [imath]2[/imath] nghiệm phân biệt.
+ Phương trình [imath]g(x)=16[/imath] có [imath]4[/imath] nghiệm phân biệt.
+ Phương trình [imath]g(x)=k \in (0,16)[/imath] có [imath]6[/imath] nghiệm phân biệt.
+ Phương trình [imath]g(x)=0[/imath] có [imath]3[/imath] nghiệm phân biệt.
+ Phương trình [imath]g(x)<0[/imath] vô nghiệm.
Ta xét các trường hợp:
+ [imath]m=-1[/imath].
Khi đó [imath](2) \Leftrightarrow x=0 \vee x=\pm 2\sqrt{2} \vee x=\pm 2 \vee |x^4-8x^2|=3[/imath]
Từ đó (2) có [imath]11[/imath] nghiệm. (loại)
+ [imath]m=2[/imath]
Khi đó [imath](2) \Leftrightarrow x=0 \vee x=\pm 2\sqrt{2} \vee x=\pm 2 \vee |x^4-8x^2|=-3[/imath]
Từ đó (2) có [imath]5[/imath] nghiệm. (loại)
+ [imath]m=-17[/imath]
Khi đó [imath](2) \Leftrightarrow |x^4-8x^2|=16 \vee |x^4-8x^2|=19 \vee x=0[/imath]
Từ đó (2) có [imath]4+2+1=7[/imath] nghiệm.
+ [imath]m=-14[/imath]
Khi đó [imath](2) \Leftrightarrow |x^4-8x^2|=13 \vee |x^4-8x^2|=16 \vee x=0[/imath]
Từ đó (2) có [imath]6+4+1=11[/imath] nghiệm.
+ Các trường hợp còn lại.
Khi đó để (2) có 7 nghiệm phân biệt thì [imath]|x^4-8x^2|=-1-m \vee |x^4-8x^2|=2-m[/imath] phải có 4 nghiệm.
Dựa vào nhận xét trên thì trong 2 số [imath]-1-m,2-m[/imath] phải có [imath]1[/imath] số bằng [imath]16[/imath] và số còn lại âm.
Mà ta có [imath]m \neq -1,-14,-17,2[/imath] nên không tồn tại [imath]m[/imath] sao cho [imath]1[/imath] trong [imath]2[/imath] số [imath]-1-m,2-m[/imath] bằng [imath]16[/imath].
Vậy chỉ có [imath]m=-17[/imath] thỏa mãn.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022

Mộc Nhãnem tưởng cái f'(|x^4-8x^2|+m) có 6 nghiệm là đủ chứ ạ

 

[7 1 2 5]

em tưởng cái f'(|x^4-8x^2|+m) có 6 nghiệm là đủ chứ ạ

wall_e.12À xin lỗi bạn mình không chú ý điểm đó ạ :< Mình sẽ cố sửa trong thời gian sớm nhất nhé

 

[lejohnnyjoe]

hình như không bằng được -1 đâu ạ vì -1 là nghiệm kép mod ạ