Điều kiện đủ: Chọn [imath]x_i=i \forall 1 \leq i \leq n[/imath].
Điều kiện cần: Giả sử tồn tại dãy [imath]\lbrace{ x_i \rbrace}[/imath] thỏa mãn đề bài.
Khi đó ta có: [imath]\begin{cases} x_1+x_2+...+x_n \equiv \dfrac{n(n+1)}{2} (\mod n) \\ (x_1+1)+(x_2+2)+...+(x_n+n) \equiv \dfrac{n(n+1)}{2} (\mod n) \end{cases}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{n(n+1)}{2} \equiv (x_1+1)+(x_2+2)+...+(x_n+n) \equiv (x_1+x_2+...+x_n)+(1+2+...+n) \equiv \dfrac{n(n+1)}{2} +\dfrac{n(n+1)}{2} (\mod n)[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{n(n+1)}{2} \equiv 0(\mod n) \Rightarrow \dfrac{n+1}{2} \in \mathbb{Z} \Rightarrow (n,2)=1[/imath]
Mặt khác, ta lại có: [imath]x_1^2+x_2^2+...+x_n^2 \equiv (x_1+1)^2+(x_2+2)^2+...+(x_n+n)^2 \equiv (x_1+2)^2+(x_2+4)^2+...+(x_n+2n)^2 \equiv \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} (\mod n)[/imath]
Vì [imath]2[(x_i+2i)^2+x_i^2]=(x_i+2i+x_i)^2+(x_i+2i-x_i)^2=4(x_i+i)^2+4i^2 \Rightarrow (x_i+2i)^2+x_i^2=2[(x_i+i)^2+i^2][/imath] nên ta có:
[imath]\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{3} \equiv [(x_1+2)^2+(x_2+4)^2+...+(x_n+2n)^2]+[x_1^2+x_2^2+...+x_n^2] \equiv 2[(x_1+1)^2+(x_2+2)^2+...+(x_n+n)^2]+2(1^2+2^2+...+n^2) \equiv \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{3}+\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{3} (\mod n)[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{3} \equiv 0 (\mod n) \Rightarrow \dfrac{(n+1)(2n+1)}{3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow (n,3)=1[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Đề thi ôn tập chọn HSGQG
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
