Nhận thấy [TEX]x \vdots 2[/TEX](xét đồng dư với 3)
Đặt [TEX]x=2k,2^x-15^y=t^2(t,k \in \mathbb{N}^*)[/TEX]
Ta có: [TEX]2^{2k}-t^2=15^y \Rightarrow (2^k-t^2)(2^k+t^2)=15^y[/TEX]
Từ đó [tex]\left\{\begin{matrix} 2^k+t^2=3^m5^n\\ 2^k-t^2=3^{y-m}5^{y-n} \end{matrix}\right.(m,n \in \mathbb{N})\Rightarrow 2^{k+1}=3^m5^n-3^{y-m}5^{y-n}[/tex]
Nhận thấy [TEX]2^{k+1} \not \vdots 3, 2^{k+1} \not \vdots 5[/TEX] nên sẽ xảy ra các trường hợp:
+ [TEX]m=n=y \Rightarrow 2^{k+1}-t^2=1 \Rightarrow t^2+1=2^{k+1}[/TEX]
Vì [TEX]t^2[/TEX] chia 4 dư 0 hoặc 1 nên [TEX]k+1 \leq 1 \Rightarrow k \leq 0[/TEX](mâu thuẫn với [TEX]k \in \mathbb{N}^*)[/TEX]
+ [TEX]m=0,n=y \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^k+t^2=5^y\\ 2^k-t^2=3^y \end{matrix}\right.[/TEX]
Nhận thấy nếu [TEX]k \geq 3[/TEX] thì [TEX]t^2 \equiv 5^y (\mod 8) \Rightarrow y \vdots 2 \Rightarrow 3^y \equiv 1 (\mod 4) \Rightarrow t^2 \equiv 3 (\mod 4)[/TEX](mâu thuẫn)
Từ đó [TEX]k \leq 2[/TEX]. Với [TEX]k=2[/TEX] thì [TEX](2-t)(2+t)=3^y \Rightarrow 2-t=1 \Rightarrow t=1 \Rightarrow y=1 \Rightarrow x=4[/TEX](thỏa mãn)
Với [TEX]k=1[/TEX] thì [TEX]2-t^2=3^y \Rightarrow y \leq 0[/TEX](mâu thuẫn)
+ [TEX]m=y,n=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^k+t^2=3^y\\ 2^k-t^2=5^y \end{matrix}\right. \Rightarrow t^2<0[/TEX]
Vậy [TEX]x=4,y=2[/TEX] là nghiệm duy nhất của bài toán.
Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
