Bổ đề: Nếu [TEX]p[/TEX] là số nguyên tố có dạng [TEX]3k+2[/TEX] thì [TEX]a^2+b^2+ab \vdots p \Rightarrow a,b \vdots p[/TEX]
Chứng minh: Giả sử [TEX]a \not \vdots p \Rightarrow b \not \vdots p[/TEX].
Theo định lí Fermat nhỏ thì [TEX]a^{3k+1} \equiv b^{3k+1} \equiv 1 (\mod p)[/TEX]
Mà [TEX]a^2+ab+b^2 \vdots p \Rightarrow a^3-b^3 \vdots p \Rightarrow a^3 \equiv b^3 (\mod p) \Rightarrow a^{3k} \equiv b^{3k} (\mod p) \Rightarrow a^{3k+1} \equiv ab^{3k} (\mod p) \Rightarrow ab^{3k} \equiv b^{3k+1}(\mod p) \Rightarrow a \equiv b(\mod p)[/TEX]
Từ đó [TEX]0 \equiv a^2+ab+b^2 \equiv 3b^2 (\mod p) \Rightarrow b \vdots p[/TEX](mâu thuẫn)
Vậy [TEX]a,b \vdots p[/TEX]
Quay lại bài toán: Từ giả thiết ta có [TEX]a^2+ab+b^2 \vdots 2,5 \Rightarrow a,b \vdots 2; a,b \vdots 5 \Rightarrow a^2+ab+b^2 \vdots 100 \Rightarrow 70c \vdots 100 \Rightarrow c=10 \Rightarrow a^2+ab+b^2=700[/TEX]
Đặt [TEX]a=10x,b=10y(x,y \in \mathbb{N}) \Rightarrow x^2+xy+y^2=7 \Rightarrow x,y \geq 2[/TEX]
Thử chọn ta thấy chỉ có [TEX](x,y)=(2,1)[/TEX] hoặc [TEX](x,y)=(1,2)[/TEX] thỏa mãn.
Vậy [TEX](a,b,c)=(10,20,10)[/TEX] hoặc [TEX](a,b,c)=(20,10,10)[/TEX]
Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
