a) Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]p \geq q[/TEX]
[TEX]p^4+p^3+q^4+q^3 \vdots p^3+q^3+p^2+q^2-2pq \Leftrightarrow (p+q)(p^3+q^3+p^2+q^2-2pq)-(p^4+p^3+q^4+q^3) \vdots p^3+q^3+p^2+q^2-2pq \Rightarrow pq(p^2+q^2) \vdots p^3+q^3+p^2+q^2-2pq[/TEX]
Nhận thấy [TEX](p,p^3+q^3+p^2+q^2-2pq)=(p,q^3+q^2)[/TEX]
+ Nếu [TEX](p,q^3+q^2) \neq 1[/TEX] thì [TEX]q^3+q^2 \vdots p \Rightarrow q \vdots p[/TEX] hoặc [TEX]q+1 \vdots p[/TEX]
Mà [TEX]p \geq q \Rightarrow q=p[/TEX] hoặc [TEX]q+1=p[/TEX]
+ [TEX](p,q^3+q^2)=1 \Rightarrow (p,p^3+q^3+p^2+q^2-2pq)=1 \Rightarrow q(p^2+q^2) \vdots p^3+q^3+p^2+q^2-2pq[/TEX]
Mà dễ thấy [TEX]q(p^2+q^2) \leq p^3+q^3+p^2+q^2-2pq[/TEX] nên [TEX]q(p^2+q^2)=p^3+q^3+p^2+q^2-2pq \Rightarrow p=q[/TEX]
Từ đó ta đưa về [TEX]p=q[/TEX] hoặc [TEX]q+1=p[/TEX].
Bây giờ đưa về 1 biến em giải tiếp nhé.
b) Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]p \geq q[/TEX]
[TEX]p^3+q^3+p^2+q^2 \vdots p^2+q^2+p+q-2pq \Rightarrow p^3+q^3+p^2+q^2-(p+q)(p^2+q^2+p+q-2pq) \vdots p^2+q^2+p+q-2pq \Rightarrow pq(p+q-2) \vdots p^2+q^2+p+q-2pq[/TEX]
Tương tự như câu a), ta chia trường hợp ra, được trường hợp 1 là [TEX]p=q[/TEX] hoặc [TEX]p=q+1[/TEX].
Trường hợp 2 là [TEX](p,p^2+q^2+p+q-2pq)=1 \Rightarrow q(p+q-2) \vdots p^2+q^2+p+q-2pq[/TEX](1)
Nhận thấy nếu [TEX](q,p^2+q^2+p+q-2pq)=1 [/TEX] thì [TEX]p+q-2 \vdots p^2+q^2+p+q-2pq[/TEX], dễ thấy [TEX]0<p+q-2<p^2+q^2+p+q-2pq[/TEX] nên vô lí.
Từ đó [TEX]p^2+q^2+p+q-2pq \vdots q \Rightarrow p(p+1) \vdots q[/TEX].
Mà [TEX]p \neq q \Rightarrow p+1 \vdots q \Rightarrow p=kq-1(k \in \mathbb{N}^*,k>1)[/TEX]
Thay vào (1) ta được: [TEX]q(kq+q-3) \vdots k^2 q^2 - 2 k q^2 - k q + q^2 + 3 q \Rightarrow kq+q-3 \vdots k^2q-2kq-k+q+3 \Rightarrow (k+1)q-3 \vdots (k^2-2k+1)q-k+3[/TEX]
Ta thấy với [TEX]k \geq 3[/TEX] thì [TEX](k^2-2k+1)q-k+3-(k+1)q+3 =(k^2-3k)q-k+6 \geq >k^2-3k-k+6=(k-2)^2+2>0[/TEX] nên [TEX]0<(k+1)q-3<(k^2-2k+1)q-k+3[/TEX], từ đó [TEX]k \leq 2[/TEX].
Lại có [TEX]k>1 \Rightarrow k=2 \Rightarrow 3q-3 \vdots q \Rightarrow 3 \vdots q \Rightarrow q=3 \Rightarrow p=5[/TEX](thỏa mãn)
Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
