Tìm tất cả các số nguyên dương m,n thỏa:
[imath]m^{n}+n^{2}=m![/imath]
David WindGiả sử tồn tại [imath]2[/imath] số nguyên dương [imath]m,n[/imath] thỏa mãn.
Từ giả thiết ta dễ thấy [imath]m|n^2[/imath]. Đặt [imath]n^2=km (k \in \mathbb{N})[/imath].
Nếu [imath]m \leq k[/imath] thì [imath]m \leq n[/imath]
Từ đó [imath]m^n \geq m^m=m\cdot m \cdot ... m > m \cdot (m-1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1=m![/imath] (mâu thuẫn)
Vậy [imath]m > k[/imath].
Xét [imath]p[/imath] là ước nguyên tố của [imath]m[/imath].
Ta có [imath]v_p(VT)=\min \lbrace{ v_p(m^n),v_p(n^2) \rbrace}=\min \lbrace{ n\cdot v_p(m),v_p(m)+v_p(k) \rbrace}[/imath]
[imath]v_p(VP)=v_p(m!)=[\dfrac{m}{p}]+[\dfrac{m}{p^2}]+...[/imath]
Ta thấy [imath]n \cdot v_p(m) \geq v_p(m)+v_p(k) \Leftrightarrow v_p(k) \leq (n-1)v_p(m)[/imath]
Mà hiển nhiên [imath]k<p^n[/imath] (nếu [imath]k \geq p^n[/imath] thì [imath]n^2=km \geq k^2 \geq p^{2n}[/imath] mâu thuẫn với [imath]n \geq 1[/imath])
[imath]\Rightarrow v_p(k)<n \Rightarrow v_p(k) \leq n-1 \leq (n-1)v_p(m)[/imath]
Từ đó [imath]v_p(VT)=v_p(m)+v_p(k)[/imath]
Vì [imath]m>k[/imath] nên tồn tại [imath]q[/imath] thuộc tập ước nguyên tố của [imath]m[/imath] sao cho [imath]v_{q}(m)>v_{q}(k)[/imath]
Khi đó [imath]v_q(VT)< 2v_q(m)[/imath]
Mặt khác, [imath]v_q(VT)=v_q(n^2)=2v_q(n) \vdots 2[/imath] nên [imath]v_q(VT) \leq 2v_q(m)-2[/imath]
Bây giờ ta đi chứng minh [imath]v_q(VT)< v_q(VP)[/imath] hay chứng minh [imath]2v_q(m)-2 < \dfrac{m}{q}+[\dfrac{m}{q^2}][/imath]
BĐT hiển nhiên đúng với [imath]v_q(m)=1[/imath]
Đặt [imath]v_q(m)=t \geq 2[/imath] thì [imath]q^t|m \Rightarrow m \geq q^t[/imath].
Khi đó [imath]\dfrac{m}{q} \geq q^{t-1}[/imath] và [imath][\dfrac{m}{q^2}] \geq 1[/imath].
Ta chỉ cần chứng minh [imath]2t-2<q^{t-1}+1[/imath] với [imath]q \geq 2[/imath] là xong.
Mặt khác ta thấy [imath]2t-2<2^{t-1}+1 \leq q^{t-1}+1[/imath] nên BĐT trên được chứng minh.
Vậy ta suy ra tồn tại [imath]q \in \mathbb{P}, q|m[/imath] sao cho [imath]v_q(VT) \neq v_q(VP)[/imath]. Từ đó không tồn tại [imath]2[/imath] số nguyên dương [imath]m,n[/imath] thỏa mãn đề bài.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Một số bài toán về phương trình hàm