Toán 10 Tìm bộ ba số x,y,z

[Windeee]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Em cảm ơn mọi người nhiều ạ.

 

[7 1 2 5]

Bổ đề: Trong phân tích thừa số nguyên tố của [TEX]y^2+z^2[/TEX],tổng số mũ của ước nguyên tố dạng [TEX]4k+3[/TEX] là số chẵn.
Chứng minh: Đặt [TEX]p=4k+3[/TEX] là 1 ước nguyên tố của [TEX]y^2+z^2[/TEX].
Nếu [TEX]y,z \vdots p \Rightarrow y^2+z^2 \vdots p^2[/TEX]
Theo định lí Fermat nhỏ ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} y^{p-1} \equiv 1(\mod p)\\ z^{p-1} \equiv 1(\mod p) \end{matrix}\right.\Rightarrow y^{4k+2}+z^{4k+2} \equiv 2(\mod p)[/tex]
Mà [TEX]y^2+z^2 \vdots p \Rightarrow y^{4k+2}+z^{4k+2} \vdots y^2+z^2 \vdots p \Rightarrow 2 \vdots p[/TEX](mâu thuẫn)
Vậy [TEX]y^2+z^2 \vdots p^2[/TEX].
Ta nhận thấy nếu [TEX]y^2+z^2 \vdots p^{2k-1}, y^2+z^2 \not \vdots p^{2k}[/TEX] thì [TEX]y=p^{k-1}y',z=p^{k-1}z'[/TEX] suy ra [TEX]y'^2+z'^2 \vdots p[/TEX] (vô lí)
Vậy bổ đề được chứng minh.
Quay lại bài toán:
Nhận thấy [TEX]7^x \equiv \pm 1 (\mod 8)[/TEX], [TEX]y^2+z^2 \equiv 0,1,4,5[/TEX] nên [TEX]y^2 \equiv z^2 \equiv 0 (\mod 8) \Rightarrow x \vdots 2[/TEX]
Đặt [TEX]x=2^q.r(r \not \vdots 2)[/TEX] thì [TEX]y^2+z^2=7^x-1=(7^{2^{q-1}.r}+1)(7^{2^{q-2}.r}+1)...(7^r+1)(7^r-1)[/TEX]
Vì [TEX]\frac{7^r-1}{2} \equiv 3 (\mod 4)[/TEX] nên [TEX]7^r-1[/TEX] có tổng số mũ của ước nguyên tố dạng [TEX]4k+3[/TEX] là lẻ.
Thật vậy, nếu tổng số mũ của ước nguyên tố dạng [TEX]4k+3[/TEX] là chẵn thì tích của chúng có dạng [TEX]4k+1[/TEX], mà các ước nguyên tố khác của [TEX]\frac{7^r-1}{2}[/TEX] đều không có dạng [TEX]4k+3[/TEX] nên [TEX]\frac{7^k-1}{2}[/TEX] có dạng [TEX]4k+1[/TEX](mâu thuẫn)
Xét [TEX]p=4k+3[/TEX] là một ước nguyên tố của [TEX]7^r-1[/TEX]
Khi đó vì [TEX](7^{2^t.r}+1,7^{2^t.r}-1)=2[/TEX] nên [TEX]7^{2^t.r} \not \vdots p \forall t[/TEX]
Từ đó tổng số mũ các ước nguyên tố dạng [TEX]4k+3[/TEX] của [TEX]7^x-1[/TEX] là lẻ.
Mà từ bổ đề trên thì tổng số mũ các ước nguyên tố dạng [TEX]4k+3[/TEX] của [TEX]7^x-1[/TEX] là chẵn.
Từ đó xảy ra mâu thuẫn, tức không tồn tại [TEX](x,y,z)[/TEX] thỏa mãn.

 

[7 1 2 5]

Sau một hồi thảo luận với thầy của mình thì phát hiện lời giải trên sai vài nơi, cụ thể là ta không chứng minh được [TEX]7^x-1[/TEX] có tổng các số mũ của thừa số nguyên tố dạng [TEX]4k+3[/TEX] là chẵn.
Lời giải thay thế:
Bổ đề 1: Mọi thừa số nguyên tố của [TEX]y^2+z^2[/TEX] dạng [TEX]4k+3[/TEX] luôn có số mũ chẵn.
Chứng minh:
Đặt [TEX]p=4k+3[/TEX] là 1 ước nguyên tố của [TEX]y^2+z^2[/TEX].
Nếu [TEX]y,z \vdots p \Rightarrow y^2+z^2 \vdots p^2[/TEX]
Nếu [TEX]y \not \vdots p \Rightarrow z \not \vdots p[/TEX] và ngược lại.
Khi đó, theo định lí Fermat nhỏ ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} y^{p-1} \equiv 1(\mod p)\\ z^{p-1} \equiv 1(\mod p) \end{matrix}\right.\Rightarrow y^{4k+2}+z^{4k+2} \equiv 2(\mod p)[/tex]
Mà [TEX]y^2+z^2 \vdots p \Rightarrow y^{4k+2}+z^{4k+2} \vdots y^2+z^2 \vdots p \Rightarrow 2 \vdots p[/TEX](mâu thuẫn)
Vậy [TEX]y^2+z^2 \vdots p \Leftrightarrow y^2+z^2 \vdots p^2(1)[/TEX]
Giả sử [TEX]p^k[/TEX] là lũy thừa lớn nhất của [TEX]p[/TEX] mà [TEX]y,z[/TEX] đều chia hết cho. Khi đó đặt [TEX]y=p^k.y',z=y^k.z'[/TEX] thì [TEX]y',z'[/TEX] không đồng thời chia hết cho [TEX]p[/TEX].
Ta có: [TEX]y^2+z^2=p^{2k}(y'^2+z'^2)[/TEX]. Từ (1) thì [TEX]y'^2+z'^2 \not \vdots p[/TEX] nên số mũ của [TEX]p[/TEX] trong [TEX]y^2+z^2[/TEX] là [TEX]2k[/TEX](đpcm)
Bổ đề 2: (Định lý LTE)
Gọi [TEX]k=v_p(x)[/TEX] là số nguyên không âm [TEX]k[/TEX] thỏa mãn [TEX]x \vdots p^k, x \not \vdots p^{k+1}[/TEX].
Với [TEX]x,y \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}^*,p[/TEX] là số nguyên tố lẻ thỏa mãn [TEX]x-y \vdots p[/TEX] và [TEX]x,y,n \not \vdots p[/TEX], ta có: [TEX]v_p(x^n-y^n)=v_p(x-y)[/TEX]
Chứng minh:
[TEX]x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1})[/TEX]
Vì [TEX]x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1} \equiv x^{n-1}+x^{n-2}.x+...+x^{n-1} \equiv nx^{n-1} (\mod p)[/TEX] nên [TEX]x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1} \not \vdots p[/TEX], suy ra đpcm.
Quay lại bài toán:
Từ bổ đề 1 trên ta chỉ cần chứng minh tồn tại thừa số nguyên tố dạng [TEX]4k+3[/TEX] của [TEX]7^x-1[/TEX] sao cho số mũ của thừa số đó là lẻ.
Đặt [TEX]x=2^k.t(t \not \vdots 2)[/TEX]
Ta có:[TEX]7^x-1=(7^t)^{2^k}-1[/TEX].
Vì [TEX]7^t-1 \equiv -1-1 \equiv -2 (\mod 8) \Rightarrow \frac{7^t-1}{2} \equiv 3(\mod 4)[/TEX] nên [TEX]7^t-1[/TEX] có ít nhất 1 thừa số nguyên tố dạng [TEX]4k+3[/TEX] có số mũ là lẻ. Gọi thừa số nguyên tố đó là [TEX]p[/TEX].
Ta có: [TEX]v_p(7^x-1)=v_p((7^t)^{2^k}-1)=v_p(7^t-1) \not \vdots 2[/TEX] nên số mũ của [TEX]p[/TEX] trong [TEX]7^x-1[/TEX] là lẻ, tức ta có đpcm.