Toán 11 Tiếp Tuyến

[Hoang Anh Tus]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người giúp em câu này với ạ

 

[2712-0-3]

View attachment 209286
Mọi người giúp em câu này với ạ

Hoang Anh Tus$f(x)=x^3 -3x^2 +2 \Rightarrow f'(x)=3x^2 -6x$
Đường thẳng đi qua $A(\dfrac{m}{n};-2)$ có hệ số góc $k$ có phương trình: $y = k(x-\dfrac{m}{n})- 2 (d)$
Đặt $\dfrac{m}{n} =t$
Để $d$ là tiếp tuyến của $(C)$ thì hệ sau có nghiệm:
$x^3-3x^2+2 = k(x-t) -2 ; 3x^2-6x=k$
Thế k vào ta có: $x^3-3x^2+2 = (3x^2-6x)(x-t)-2$
$\Rightarrow x^3 -3x^2+4 - (x-t)3x(x-2) =0$
$\Rightarrow (x-2)(x^2 -x-2) - (x-2) . (3x^2 -3tx) =0$
$\Rightarrow (x-2)\left[ 2x^2 - (3t-1 )x + 2 \right] = 0$ (1)
Để (1) có ít nhất 2 nghiệm (thì mới tồn tại 2 tiếp tuyến)
(1) có 3 nghiệm $x=2 ; x=x_1 ; x=x_2$ thỏa mãn
$\Delta = (3t-1)^2 - 4.2.2 \geq 0 \Rightarrow t \geq \dfrac{5}{3}$ hay $t\leq -1$
Và theo Viet ta có: $x_1+x_2 = \dfrac{3t-1}{2}; x_1x_2 =1$
Khi đó sẽ có tiếp tuyến đi qua $A(t;-2)$ có hệ số góc lần lượt là $k_1 = 0 ; k_2 = 3x_1^2 -6x_1 ; k_3 =3x_2^2 -6x_2$
Mà trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nên
$( 3x_1^2 -6x_1 )(3x_2^2 -6x_2)=-1$
$\Leftrightarrow 9x_1x_2 (x_1-2)(x_2-2)=-1$
$\Leftrightarrow x_1x_2 -2(x_1+x_2) +4 = \dfrac{-1}{9}$
$\Leftrightarrow 5 - (3t-1) = \dfrac{-1}{9}$
$\Leftrightarrow t = \dfrac{55}{27}$
Khi này $m=55; n=27 \Rightarrow m.n =1485$

Ngoài ra mời bạn tham khảo thêm tại Bài toán tiếp tuyến - sự tiếp xúc của 2 đường cong