Hoang Anh Tus[imath]f(x)=x^3 -3x^2 +2 \Rightarrow f'(x)=3x^2 -6x[/imath]
Đường thẳng đi qua [imath]A(\dfrac{m}{n};-2)[/imath] có hệ số góc [imath]k[/imath] có phương trình: [imath]y = k(x-\dfrac{m}{n})- 2 (d)[/imath]
Đặt [imath]\dfrac{m}{n} =t[/imath]
Để [imath]d[/imath] là tiếp tuyến của [imath](C)[/imath] thì hệ sau có nghiệm:
[imath]x^3-3x^2+2 = k(x-t) -2 ; 3x^2-6x=k[/imath]
Thế k vào ta có: [imath]x^3-3x^2+2 = (3x^2-6x)(x-t)-2[/imath]
[imath]\Rightarrow x^3 -3x^2+4 - (x-t)3x(x-2) =0[/imath]
[imath]\Rightarrow (x-2)(x^2 -x-2) - (x-2) . (3x^2 -3tx) =0[/imath]
[imath]\Rightarrow (x-2)\left[ 2x^2 - (3t-1 )x + 2 \right] = 0[/imath] (1)
Để (1) có ít nhất 2 nghiệm (thì mới tồn tại 2 tiếp tuyến)
(1) có 3 nghiệm [imath]x=2 ; x=x_1 ; x=x_2[/imath] thỏa mãn
[imath]\Delta = (3t-1)^2 - 4.2.2 \geq 0 \Rightarrow t \geq \dfrac{5}{3}[/imath] hay [imath]t\leq -1[/imath]
Và theo Viet ta có: [imath]x_1+x_2 = \dfrac{3t-1}{2}; x_1x_2 =1[/imath]
Khi đó sẽ có tiếp tuyến đi qua [imath]A(t;-2)[/imath] có hệ số góc lần lượt là [imath]k_1 = 0 ; k_2 = 3x_1^2 -6x_1 ; k_3 =3x_2^2 -6x_2[/imath]
Mà trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nên
[imath]( 3x_1^2 -6x_1 )(3x_2^2 -6x_2)=-1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 9x_1x_2 (x_1-2)(x_2-2)=-1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x_1x_2 -2(x_1+x_2) +4 = \dfrac{-1}{9}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 5 - (3t-1) = \dfrac{-1}{9}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow t = \dfrac{55}{27}[/imath]
Khi này [imath]m=55; n=27 \Rightarrow m.n =1485[/imath]
Ngoài ra mời bạn tham khảo thêm tại Bài toán tiếp tuyến - sự tiếp xúc của 2 đường cong
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
