Toán 12 Tích phân

[Nam Núi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1:
Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm xác định trên $(0; + \infty)$. Biết rằng $f(x)>0$ với mọi $x\in (0;+\infty)$ thoả mãn $f(x)(\ln f(x) -1) + x(f'(x)-2f(x)) = 0$ và $\ln(f(2)) - \ln f(f(1)) =1$. Giá trị tích phân $\displaystyle \int \limits_1^2 xf(x)\mathrm dx$ nằm trong khoẳng nào dưới đây?
A. (0;6)
B. (6;12)
C. (18;24)
D. (12;18)

Câu 2: Cho hàm số $f(x)$ thoả mãn f\left(\dfrac{\pi}2\right) = 0$ và \cos x \cdot f(x) + f'(x) = e^{-\sin x}\cdot \sin x$. Tính $f(0)$
A. $f(0)=1$
B. $f(0)=0$
C. $f(0)=1$
D. $f(0)=\dfrac{\pi}2$

Hai câu này giải thế nào vậy ạ?

 

[Kaito Kidㅤ]

Câu 1:
Chia 2 vế của giả thiết cho $f(x)$ ta sẽ được:
[tex]\ln f(x)-1+x.\frac{f'(x)}{f(x)}-2x=0\\\Leftrightarrow \ln f(x)+x.\frac{f'(x)}{f(x)}=2x+1\\\Leftrightarrow (\ln f(x).x)'=2x+1[/tex]
Nguyên hàm 2 vế ta có: [tex]\ln f(x).x=x^2+x+C[/tex]
Có: [tex]\left\{ \begin{matrix} &\ln f(2).2=6+C \Leftrightarrow \ln f(2)=3+\frac{C}{2} & \\ & \ln f(1)=2+C & \end{matrix}\right.\\\Rightarrow \ln f(2)- \ln f(1)=1-\frac{C}{2}\\\Leftrightarrow C=0[/tex]
Do đó $\ln f(x)=x+1$ hay $f(x)=e^{x+1}$
Đáp án C
Câu 2:
Nhân 2 vế của giả thiết cho $e^{\sin x}$ ta sẽ được:
[tex]e^{\sin x}.\cos x.f(x)+e^{\sin x}.f'(x)=\sin x[/tex]
Nguyên hàm 2 vế có:
$e^{\sin x}.f(x)=- \cos x +C$
[tex]f(\frac{\pi}{2})=0[/tex] nên $C=0$
Vậy đáp án A